Der Rang gibt an, wie viele der Zeilen „einzigartig“ sind: nicht aus anderen Zeilen gebildet. (Dasselbe gilt für Spalten.)
Beispiel:DieseMatrix
Die zweite Zeile ist nur 3 mal die erste. Nur ein nutzloser Nachahmer. Zählt nicht.
So, obwohl es 2 Zeilen gibt, ist der Rang nur 1.
Was ist mit den Spalten? Die zweite Spalte ist einfach das Doppelte der ersten Spalte. Und die dritte Spalte ist das Dreifache der ersten (oder das 1,5-Fache der zweiten), zählt also auch nicht.
So zeigen uns die Spalten auch, dass der Rang nur 1 ist.
Beispiel:DieseMatrix
Die zweite Reihe wird nicht aus der ersten Reihe gebildet, also ist der Rang mindestens 2.
Aber was ist mit der dritten Reihe? Sie besteht aus der ersten und der zweiten Zeile zusammen, zählt also nicht.
So ist der Rang nur 2, obwohl es 3 Zeilen gibt.
Was ist mit den Spalten? Die zweite Spalte ist in Ordnung, aber Spalte 3 ist die Summe der Spalten 1 und 2.
So zeigen uns die Spalten auch, dass der Rang nur 2 ist.
Beispiel:DieseMatrix
Die zweite Reihe wird nicht aus der ersten Reihe gebildet, also ist der Rang mindestens 2.
Die dritte Reihe sieht gut aus, aber nach eingehender Prüfung stellen wir fest, dass es die erste Reihe minus zweimal die zweite Reihe ist. Raffiniert! Also ist der Rang nur 2.
Und bei den Spalten: In diesem Fall ist Spalte 3 die Addition der Spalten 1 und 2. Die Spalten zeigen uns also auch, dass der Rang 2 ist.
Beispiel:Die IdentityMatrix
Alle Reihen sind starke unabhängige Individuen, die für ihre Existenz nicht auf andere angewiesen sind! Also ist der Rang 3.
Und genau dasselbe gilt für die Spalten, also sagen sie uns auch, dass der Rang 3 ist.
In der Tat stimmen die Zeilen und Spalten immer über den Rang überein (erstaunlich, aber wahr!).
Wenn wir hier über Zeilen sprechen, können wir das Gleiche auch über Spalten sagen.
Wir müssen also nicht wirklich beides ausrechnen.
Warum den Rang finden?
Der Rang sagt uns viel über die Matrix.
Er ist nützlich, um uns zu sagen, ob wir eine Chance haben, ein System linearer Gleichungen zu lösen: Wenn der Rang gleich der Anzahl der Variablen ist, können wir möglicherweise eine eindeutige Lösung finden.
Beispiel: Äpfel und Bananen
Wenn wir wissen, dass
- 2 Äpfel und 3 Bananen 7 $ kosten
- 3 Äpfel und 3 Bananen 9 $ kosten
Dann können wir herausfinden, dass der zusätzliche Apfel 2 $ kosten muss, und dass die Bananen jeweils 1 $ kosten.
(Es gibt 2 Variablen und der Rang ist ebenfalls 2.)
Wenn wir aber nur wissen, dass
- 2 Äpfel und 3 Bananen $7 kosten
- 4 Äpfel und 6 Bananen $14 kosten
Wir kommen nicht weiter, weil die zweite Datenreihe nur doppelt so groß ist wie die erste und uns keine neuen Informationen liefert.(Es gibt 2 Variablen und der Rang ist nur 1.)
Es hat auch Anwendungen in der Kommunikation, Stabilität von Systemen und mehr.
Lineare Abhängigkeit
Anstatt „nicht aus“ sagen wir, dass sie linear unabhängig sind, was eine wichtige Idee ist.
Linear bedeutet, dass wir mit einer Konstanten multiplizieren können, aber keine Potenzen oder andere Funktionen. Die Konstante kann eine beliebige reelle Zahl sein (0, 1, eine beliebige ganze Zahl, Bruch, Negative usw.).
Abhängigkeit bedeutet, dass sie voneinander abhängen, mit anderen Worten, wir können einige addieren (nach der Multiplikation mit einer Konstanten), um eine andere zu bilden.
Stellen Sie sich vor, sie sind Vektoren (haben Richtung und Länge). Können wir die anderen Vektoren kombinieren (je nach Bedarf gestreckt oder geschrumpft), um das gleiche Ergebnis zu erhalten?
c = a + 2b,
also ist c linear abhängig von a und b
Beachte auch, dass:
- a und b zusammen linear unabhängig sind: wir können a nicht alleine benutzen, um dorthin zu kommen, wo b ist, oder umgekehrt.
- Das Gleiche gilt für b und c, oder a und c.
- Aber a, b und c sind zusammen linear abhängig.
Bei a und b können wir mit diesen beiden Vektoren eigentlich jeden Punkt der Ebene erreichen:
Die Vektoren a und b spannen die ganze Ebene auf.
Wenn Vektoren linear unabhängig sind und einen ganzen Raum aufspannen, sagen wir, sie sind eine „Basis“ dieses Raums.
So sind a und b eine Basis der 2D-Ebene.
Anmerkung: Raum ist ein allgemeiner Begriff, der 1, 2, 3 oder höhere Dimensionen abdeckt, aber wir nennen den 2D-Raum oft eine Ebene.
So sind a und b genauso nützlich wie die x,y-Achsen. Und dasselbe könnte man für 2 beliebige linear unabhängige Vektoren in der 2D-Ebene sagen.
Das einfachste Paar linear unabhängiger Vektoren sind (1,0) und (0,1), die die 2×2 Identitätsmatrix bilden:
Sie bilden im Wesentlichen die bekannten x,y-Achsen:
Und in 3D:
Und in 4D:
OK, das ist ein bisschen schwer zu veranschaulichen, aber die Zahlen funktionieren ganz gut bis zu beliebig vielen Dimensionen!
Wie man den Rang findet
Gewöhnlich ist es am besten, eine Software zu benutzen, um den Rang zu finden, es gibt Algorithmen, die mit den Zeilen und Spalten herumspielen, um ihn zu berechnen. Aber in manchen Fällen können wir es auch selbst herausfinden.
Bei einer quadratischen Matrix kann die Determinante helfen: eine Determinante ungleich Null sagt uns, dass alle Zeilen (oder Spalten) linear unabhängig sind, also ist sie „vollwertig“ und ihr Rang ist gleich der Anzahl der Zeilen.
Beispiel:Sind diese 4d-Vektoren linear unabhängig?
Die Determinante ist (mit Hilfe des Matrixrechners):
1(2(3×4-0×0)-2(0×4-0×1)+0(0×0-3×1))-2(0(3×4-0×0)-2(1×4-0×0)+0(1×0-3×0))+3(0(0×4-0×1)-2(1×4-0×0)+0(1×1-0×0))-4(0(0×0-3×1)-2(1×0-3×0)+2(1×1-0×0)) = 8
Die Determinante ist ungleich Null, also müssen sie alle linear unabhängig sein.
Und so ist sie vollwertig, und der Rang ist 4.
So wissen wir, dass sie tatsächlich eine Basis für den 4D-Raum ist: Mit diesen 4 Vektoren können wir den gesamten 4D-Raum aufspannen.
Ein großartiges Beispiel, wo die Mathematik uns etwas sagen kann, was wir uns nicht so einfach vorstellen können.
Weitere Eigenschaften
Der Rang kann nicht größer sein als die kleinste Dimension der Matrix.
Beispiel: für eine 2×4-Matrix kann der Rang nicht größer als 2 sein
Wenn der Rang gleich der kleinsten Dimension ist, nennt man ihn „full rank“, einen kleineren Rang nennt man „rank deficient“.
Der Rang ist mindestens 1, außer für eine Nullmatrix (eine Matrix aus lauter Nullen), deren Rang 0 ist.