PCB Design & Analysis

Diese C5-Stimmgabel schwingt mit ihrer gedämpften Eigenfrequenz

Wer sich mit Oszillatoren auskennt, denkt am ehesten an einen einfachen harmonischen Oszillator, wie ein Pendel oder eine Masse an einer Feder. Diese Systeme sind konzeptionell einfach, aber ihre mathematischen Modelle können die realistischen Eigenschaften dieser Systeme nicht berücksichtigen. Jeder Oszillator hat einige wichtige physikalische Parameter, und die Reaktion des Systems, wenn es angesteuert wird, wird nicht mit der Reaktion übereinstimmen, die man sieht, wenn man es frei schwingen lässt.

In der Elektronik funktionieren verschiedene Schaltungen als Oszillatoren, bei denen die Spannung und der Strom eine periodische Reaktion in der Zeit zeigen. Genau wie mechanische Oszillatoren können Oszillatorschaltungen unter den richtigen Bedingungen eine Resonanz aufweisen. Die Dinge werden für einige Entwickler mathematisch verwirrend, da die reale Reaktion eines Oszillators in Form von drei verschiedenen Frequenzen definiert ist. Lassen Sie uns den Unterschied zwischen der Resonanzfrequenz und der Eigenfrequenz in rein linearen Oszillatorschaltungen klären.

Gedämpfte Schwingungsfrequenz vs. Eigenfrequenz in ungesteuerten Oszillatoren

Obwohl wir eine Eigenfrequenz in mechanischen und elektrischen harmonischen Oszillatoren quantifizieren können, schwingt das System nie wirklich mit der Eigenfrequenz. Das liegt daran, dass wir in einem idealen Modell für einen Oszillator den Effekt der Dämpfung gerne ignorieren, damit wir einige grundlegende Aspekte des Systems verstehen können. Bei einem mechanischen Oszillator bedeutet dies, dass wir die Reibung oder jeden anderen Mechanismus, der kinetische Energie abführt, kurz ignorieren. Bei einer Schaltung bedeutet dies, dass wir Schaltungselemente weglassen, die Leistung als Wärme abführen, d.h. die Schaltung enthält nur kapazitive und induktive Elemente.

Wenn ein nicht angetriebener, ungedämpfter Oszillator aus dem Gleichgewicht gebracht wird, schwingt das System mit seiner Eigenfrequenz. Reale Oszillatorschaltungen enthalten jedoch immer eine gewisse Dämpfung; in einer LC-Schaltung haben die Leiter einen kleinen Widerstand, der für eine Dämpfung der Schaltung sorgt. Dies gilt auch für mechanische Oszillatoren; es gibt immer eine Quelle der Dämpfung, die kinetische Energie in Wärme umwandelt, weshalb ein schwingendes Pendel schließlich zum Stillstand kommt.

Die Wirkung der Dämpfung führt zu zwei Phänomenen in nicht angetriebenen Oszillatoren, die natürlich schwingen dürfen, wenn sie aus dem Gleichgewicht gebracht werden:

• Die Schwingung klingt mit der Zeit ab. Die Dämpfung in einem Schwingkreis tritt auf, weil ein Teil der elektrischen Energie (d. h. die kinetische Energie der fließenden Ladungen) als Wärme verloren geht. Dies bewirkt, dass die Amplitude der Schwingung mit der Zeit abnimmt.

• Die gedämpfte Schwingungsfrequenz entspricht nicht der Eigenfrequenz. Die Dämpfung bewirkt, dass die Frequenz der gedämpften Schwingung etwas kleiner ist als die Eigenfrequenz. Die gedämpfte Schwingungsfrequenz ist in der folgenden Gleichung definiert:

Die Schwingungsfrequenz eines gedämpften, ungedämpften Oszillators

Wenn der Dämpfungsgrad gleich der Eigenfrequenz ist, kommt es zu keiner Einschwingung, d.h. Spannung und Strom im Stromkreis klingen einfach wieder ins Gleichgewicht ab; Dies wird als kritische Dämpfung bezeichnet. Je höher die Dämpfungsrate über der Eigenfrequenz liegt, desto länger dauert es, bis Spannung und Strom wieder ins Gleichgewicht zurückfallen.

Wenn Sie eine Einschwinganalyse eines Schwingkreises durchführen und die Schwingungsfrequenz messen, messen Sie nicht die Eigenfrequenz. Tatsächlich messen Sie die gedämpfte Schwingungsfrequenz, die in der obigen Gleichung definiert ist. Sie können dann die Dämpfungsrate extrahieren, indem Sie den natürlichen Logarithmus der Abklingdaten (dargestellt durch rote Punkte in der Grafik unten) in der Antwortwellenform über der Zeit auftragen; das Negativ der Steigung dieser Linie ist gleich der Dämpfungsrate.

Die Schwingungsfrequenz eines gedämpften, ungedämpften Oszillators

In der obigen Grafik sind die aufeinanderfolgenden Maxima mit roten Punkten markiert, und der Logarithmus dieser elektrischen Stromdaten ist in der rechten Grafik aufgetragen. Aus der Regressionsgeraden geht hervor, dass die Dämpfungsrate in dieser Schaltung 0,76 pro Sekunde beträgt. Die gedämpfte Schwingungsrate kann zwischen zwei aufeinanderfolgenden Maxima im linken Diagramm bestimmt werden und hat einen Wert von 3,929 rad pro sec. Sobald Sie die Dämpfungsrate und die gedämpfte Schwingungsfrequenz kennen, können Sie die Eigenfrequenz mit der obigen Gleichung leicht berechnen. In dieser Simulation beträgt die Eigenfrequenz 4 rad pro Sekunde. Aus der exponentiellen Abklingkurve können Sie auch erkennen, dass der Anfangsstrom 1 A betrug.

Resonanzfrequenz vs. Eigenfrequenz in angesteuerten Oszillatoren

Wenn ein Oszillatorschaltkreis mit einem periodischen Signal angesteuert wird, schwingen Strom und Spannung mit der gleichen Wiederholrate wie das Ansteuersignal. Die Wellenformen werden jedoch nicht perfekt übereinstimmen, da die Übertragungsfunktion eines Oszillatorschaltkreises diese Signale verzerrt; mit anderen Worten, der Oszillatorschaltkreis wirkt auch wie ein Filter/Verstärker (mehr dazu weiter unten). Um zu sehen, wie sich verschiedene Oszillatorschaltungen verhalten können, hilft es, einen mechanischen Oszillator zu betrachten, der nur mit einem sinusförmigen Signal angesteuert wird.

Resonanz ist ein Phänomen, das entsteht, wenn ein Oszillator mit einem periodischen Signal mit einer bestimmten Frequenz, der sogenannten Resonanzfrequenz, angesteuert wird. Bei einem angesteuerten Oszillator ohne Dämpfung ist die Resonanzfrequenz gleich der Eigenfrequenz. Dies ist bei ungedämpften Oszillatoren immer der Fall, bei gedämpften Oszillatoren jedoch nicht immer. Echte angetriebene Oszillatoren haben eine Dämpfung, und die Resonanzfrequenz ist nicht immer gleich der Eigenfrequenz. Für einen typischen angetriebenen gedämpften mechanischen Oszillator ist die Resonanzfrequenz in der folgenden Gleichung definiert:

Resonanzfrequenz vs. Eigenfrequenz eines angetriebenen gedämpften mechanischen Oszillators

Beachten Sie, dass Resonanz nur dann auftreten kann, wenn die Eigenfrequenz größer ist als die Dämpfungskonstante, multipliziert mit der Quadratwurzel aus 2. Wenn die Dämpfung zu groß ist, dann kann keine Resonanz auftreten.

Was ist mit dem Fall einer kleinen Dämpfung? Im Grenzfall, in dem die Dämpfungskonstante Null ist, ist die Resonanzfrequenz gleich der Eigenfrequenz und es findet keine Energiedissipation im Kreis statt. Wenn also ein ungedämpfter Oszillator genau mit seiner Eigenfrequenz angesteuert wird, wird die Amplitude der resultierenden Schwingung (theoretisch) mit einer linearen Rate gegen unendlich divergieren. In einer realen Schaltung werden bei hohen Spannungen/Strömen schließlich nichtlineare Effekte auftreten, die zu einer Sättigung oder zum Durchbrennen der Schaltung führen können.

Es gibt einen bestimmten Frequenzbereich, zwischen dem der mechanische Oszillator keine Resonanz zeigt, wenn er angesteuert wird, aber er wird dennoch eine abklingende Schwingung zeigen, wenn er aus dem Gleichgewicht gebracht wird. Diese abklingende Schwingung wird immer noch mit der gedämpften Schwingungsfrequenz auftreten, die in der ersten Gleichung oben definiert ist. Zurück zu einem mechanischen Oszillator haben wir:

Eigenfrequenz

Fall, in dem die Resonanz eliminiert ist, aber immer noch eine gedämpfte Schwingung auftreten kann

Beachten Sie, dass die oben für einen mechanischen Oszillator besprochenen Bedingungen auch für einen RL-Kreis mit einem parallelen Kondensator gelten.

Übertragungsfunktionen von Oszillatoren

Die Dämpfung in einer Schaltung definiert die Übertragungsfunktion der Schaltung, die üblicherweise in Form ihrer Bandbreite beschrieben wird. Wenn der Oszillator mit einem sinusförmigen Signal angesteuert wird, ist auch der Ausgang sinusförmig. Wird der Oszillator jedoch mit einem nicht-sinusförmigen periodischen Signal angesteuert (z. B. einer Sägezahnwelle, einem frequenzmodulierten Signal, einem Strom von Taktimpulsen oder einer anderen sich wiederholenden analogen Wellenform), dann ähneln die resultierenden Spannungs- und Stromwellenformen im Oszillator möglicherweise nicht dem Steuersignal. Sie können die Übertragungsfunktion aus einem Frequenzsweep extrahieren, indem Sie eine sinusförmige Quelle an Ihre Oszillatorschaltung anlegen. Beispiele, die diese Übertragungsfunktionen im Frequenzbereich für verschiedene Dämpfungsraten für einen mechanischen Oszillator zeigen, sind unten dargestellt.

Amplitudenkurven für einen mechanischen Oszillator als Funktion der Antriebsfrequenz

Beachten Sie, dass diese Kurven auf die Eigenfrequenz normiert sind. Auch hier gilt, dass bestimmte RLC-Schaltungen ähnliche Kurven aufweisen, während andere (z. B. die Serien-RLC-Schaltung) Kurven haben, die immer bei der Eigenfrequenz ihren Höhepunkt haben, d. h. Resonanzfrequenz = Eigenfrequenz.

Die obigen Diagramme für einen mechanischen Oszillator zeigen, wie sich der Höhepunkt in jeder Kurve (der der Resonanzfrequenz entspricht) mit abnehmender Dämpfungsrate in Richtung der Eigenfrequenz bewegt. Jede dieser Kurven kann als eine Übertragungsfunktion betrachtet werden. Um zu bestimmen, wie sich jede dieser Kurven auf ein beliebiges analoges Ansteuersignal im Zeitbereich auswirkt, muss man mit Fourier-Transformationen oder Laplace-Transformationen arbeiten, was den Rahmen dieses Artikels ein wenig sprengen würde.

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