Carga crítica de Euler

Coluna terminada com pinoEdit

O modelo seguinte aplica-se a colunas simplesmente suportadas em cada extremidade ( K = 1 {\displaystyle K=1}

$K=1$

)

Em primeiro lugar, vamos chamar a atenção para o facto de não haver reacções nas extremidades articuladas, pelo que também não temos força de corte em qualquer secção transversal da coluna. A razão para não haver reacções pode ser obtida a partir da simetria (pelo que as reacções devem estar na mesma direcção) e do equilíbrio do momento (pelo que as reacções devem estar em direcções opostas).

Usando o diagrama do corpo livre no lado direito da figura 3, e fazendo uma soma de momentos sobre o ponto x:

Σ M = 0 ⇒ M ( x ) + P w = 0 {\displaystyle \Sigma M=0\Rightarrow M(x)+Pw=0}

${\i1}{\i1}Sigma M=0\i>M(x)+Pw=0}$

onde w é a deflexão lateral.

Segundo a teoria do feixe Euler-Bernoulli, a deflexão de um feixe está relacionada com o seu momento de flexão por:

M = – E I d 2 w d x 2 {\displaystyle M=-EI{\frac {\mathrm {\d} w ^{2}{\i1}{\i1}x^{2}}}}

${\i1}displaystyle M=-EI{\i}frac {\i} ^{2}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Fig. 3: Coluna terminada com pino sob o efeito de carga de Buckling

so:

E I d 2 w d x 2 + P w = 0 {\displaystyle EI{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}+Pw=0}

${\\i1}{\i1}{\i}+Pw=0}$

Let λ 2 = P E I {\i>lambda ^{\i}={\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i1}div>div> $EI{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}+Pw=0$ {\i}{\i1}displaystyle EI{\i}frac ^{\i}{dx^{\i}}{\i}

${\i1}{\i1}}displaystyle ^{2}={\i}{\i}{\i1}div>$

, so: d 2 w d x 2 + λ 2 w = 0 {\i1}displaystyle ^{d^{2}w}{dx^{2}}+lambda ^{2}w=0}

${\i1}{\i}{\i}{dx^{\i}}+\i>lambda ^{\i=0}$

Obtemos uma clássica equação diferencial comum homogénea de segunda ordem.

As soluções gerais desta equação são: w ( x ) = A cos ( λ x ) + B sin ( λ x ) {\displaystyle w(x)=A{\displaystyle w(x)=Acos(\lambda x)+B\sin(\lambda x)}

${\\i1}{\i1}displaystyle w(x)=A\i(lambda x)+B\sin(lambda x)}$ , onde A {\i1}displaystyle A}

$A$

e B {\i1}displaystyle B

$B$

são constantes a serem determinadas por condições de fronteira, que são

Lim>Lim esquerdo pinado → w ( 0 ) = 0 → A = 0 {\displaystyle \displaystyle w(0)=0\rightarrow A=0}
${\i1}displaystyle w(0)=0{\i1}rightarrow w(0)=0rightarrow A=0}$
Li>Pino da extremidade direita → w ( l ) = 0 → B sin ( λ l ) = 0 {\i1}rightarrow w(l)=0rightarrow B\sin(l)=0}
${\i1}displaystyle w(l)=0{\i1}rightarrow w(l)=0{\i1}<img alt=$

Fig. 4: Primeiros três modos de encurvar cargas

se B = 0 {\displaystyle B=0}

$B = 0$

, não existe momento de flexão e obtemos a solução trivial de w ( x ) = 0 {\displaystyle w(x)=0}

${\i1}{\i1}displaystyle w(x)=0}$

No entanto, do outro pecado da solução ( λ l ) = 0 {\\i1}displaystyle {\i1}sin(lambda l)=0}

${\i1}displaystyle \i(lambda l)=0}$

obtemos λ n l = n π {\i1}displaystyle {\i}lambda _{\i}l=npi }

${\i1}displaystyle {\i}lambda _{\i}l=n=npi }$

, for n = 0 , 1 , 2 , … {\i1}displaystyle n=0,1,2,{\i}ldots

${\\i1}>displaystyle n=0,1,2,{\i}$

p>Todos juntos com λ 2 = P E I {\i>lambda ^{2}={\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}

${\\i1}{\i1}{\i1}={\i1}div>><img src=$ {\i1}{\i1}displaystyle {\i}lambda ^{\i}={\i1}frac {\i}{\i}{\i}}”>

como definido anteriormente, as várias cargas críticas são P n = n 2 π 2 E I l 2 {\i1}{\i1}={\i1}frac {n^{2}pi ^{2}EI}{l^{2}}}}

${\i1}{\i1}displaystyle P_{n}={\i}frac {n^{2}pi ^{l^{2}}}}$

, for n = 0 , 1 , 2 , … {\i1}displaystyle n=0,1,2,{\i}ldots

${\i1}displaystyle n=0,1,2,{\i}$

e dependendo do valor de n {\i1}displaystyle n

${\i1}$

, são produzidos diferentes modos de encurvadura como mostra a figura 4. A carga e modo para n=0 é o modo sem fivela.

Teoricamente, qualquer modo de encurvadura é possível, mas no caso de uma carga aplicada lentamente apenas a primeira forma modal é susceptível de ser produzida.

A carga crítica de Euler para uma coluna de fim de pino é, portanto, a carga crítica de Euler para uma coluna de fim de pino:

P c r = π 2 E I l 2 {\displaystyle P_{cr}={\frac ^{\pi ^{2}EI}{l^{2}}}}

${\i}={\i}{\i}{\i}{\i}{l^{2}}}}$

e a forma obtida da coluna fivelada no primeiro modo é

w ( x ) = Pecado B ( π l x ) {\\i1}displaystyle w(x)=B{\i}sin {\i}left({\i}over lx{\i}right)}

${\i1}displaystyle w(x)=B{\i}sin {\i}{esquerda(x)=B{\i}{\i}{\i}div>>div>>.$ Abordagem geralEdit

Fig. 5: forças e momentos actuando sobre uma coluna.

A equação diferencial do eixo de um feixe é:

d 4 w d x 4 + P E I d 2 w d x 2 = q E E I {\frac {d^{4}w}{dx^{4}}+{\frac {\P}{EI}{\frac {d^{2}w}{dx^{2}={\q}{\P E I {\P}}={\P E I}

${\i1}{\i}{dx^{4}w}{dx^{4}}+{\i>frac {\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{dx^{2}w}{dx^{2}}={\i}{\i}{\i}{\i}$

Para uma coluna apenas com carga axial a carga lateral q ( x ) {\i1}displaystyle q(x)}

$q(x)$

desaparece e substitui λ 2 = P E I ^lambda ^{2}={\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}

${\\i1}{\i1}displaystyle ^{\i}={\i1}div>>div>>/div>, obtemos: d 4 w d d x 4 + λ 2 d 2 w d x 2 = 0 {\i1}{d^{4}w}{dx^{4}}+lambda ^{2}{d^{2}w}{dx^{2}=0}$ ${\\i1}{\i1}div>>dx^{\i}{\i}+lambda ^{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}$ p> Este é um quarto homogéneoequação diferencial de ordem e a sua solução geral é w ( x ) = A sin ( λ x ) + B cos ( λ x ) + C x + D {\displaystyle w(x)=A\sin(\lambda x)+B\cos(\lambda x)+Cx+D}

${\\i1}{\i1}displaystyle w(x)=A\i(lambda x)+B\i(lambda x)+Cx+D}$ p>As quatro constantes A , B , C , D {\i1}displaystyle A,B,C,D

$A,B,C,D$

são determinadas pelas condições de limite (restrições finais) em w ( x ) {\displaystyle w(x)}

$w(x)$

, em cada extremo. Há três casos:

Pinned end: w = 0 {\displaystyle w=0}
$w = 0$

e M = 0 → d 2 w d x 2 = 0 {\displaystyle M=0\d^{2}w {\d^{2}=0}

$M=0\d^{2}w {\d^{2}w {\dx^{2}=0$

Fixed end: w = 0 {\displaystyle w=0}

$w = 0$

e d w d x = 0 {\displaystyle {dw {\dx}=0}

${dw ^over dx}=0$

Free end: M = 0 → d 2 w d x 2 = 0 {\displaystyle M=0{d^{2}w ^over dx^{2}}=0}

${\i1}displaystyle M=0\i}rightarrow {d^{2}w {\i}over dx^{2}=0}$

e V = 0 → d 3 w d x 3 + λ 2 d w d d x = 0 {\displaystyle V=0}rightarrow {d^{3}w {\d^{3}+{\d=lambda ^{2}{dw ^over dx}=0}

${\i1}displaystyle V=0{d^{3}w {d^{3}+\i>lambda ^{2}{dw ^over dx}=0}$

p> Para cada combinação destas condições de limite, obtém-se um problema de valor próprio. Resolvendo estes, obtemos os valores da carga crítica de Euler para cada um dos casos apresentados na Figura 1.

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