A classificação é quantas das linhas são “únicas”: não são feitas de outras linhas. (O mesmo para as colunas.)
Exemplo:ThisMatrix
A segunda fila é apenas 3 vezes a primeira fila. Apenas um imitador inútil. Não conta.
Então, embora haja 2 filas, a classificação é apenas 1.
E quanto às colunas? A segunda coluna é apenas o dobro da primeira coluna. E a terceira coluna é três vezes a primeira (ou 1,5 vezes a segunda) por isso também não conta.
Então as colunas também nos mostram que a classificação é apenas 1.
Exemplo:ThisMatrix
/div>
A segunda fila não é feita da primeira fila, por isso a classificação é de pelo menos 2.
Mas e a terceira fila? É a primeira e a segunda juntas, pelo que não conta.
Então, embora haja 3 filas, a classificação é apenas 2.
E as colunas? A segunda coluna está bem, mas a coluna 3 é as colunas 1 e 2 adicionadas em conjunto.
Então, as colunas também nos mostram que a classificação é apenas 2.
Exemplo:ThisMatrix
A segunda fila não é feita da primeira fila, por isso a classificação é de pelo menos 2.
A terceira fila parece ok, mas depois de muito exame descobrimos que é a primeira fila menos o dobro da segunda fila. Sorrateiro! Portanto, a classificação é apenas 2,
E para as colunas: Neste caso a coluna 3 é as colunas 1 e 2 somadas. Assim, as colunas também nos mostram que a classificação é 2.
Exemplo:A IdentityMatrix
/div>>/div>
Todas as filas são indivíduos fortemente independentes, não depender de outros para a sua existência! Assim, a classificação é 3.
E exactamente a mesma para as colunas, pelo que também nos dizem que a classificação é 3.
De facto, as filas e colunas estão sempre de acordo quanto à classificação (espantoso mas verdadeiro!).
Quando falamos aqui de linhas, também podemos dizer a mesma coisa sobre as colunas.
Por isso, não precisamos realmente de trabalhar ambos.
Porquê encontrar o Rank?
A classificação diz-nos muito sobre a matriz.
É útil para nos dizer se temos uma hipótese de resolver um sistema de equações lineares: quando a classificação é igual ao número de variáveis podemos ser capazes de encontrar uma solução única.
Exemplo: Maçãs e Bananas
Se soubermos que
- 2 maçãs e 3 bananas custam $7
- 3 maçãs e 3 bananas custam $9
Então podemos descobrir que a maçã extra deve custar $2, e assim as bananas custam $1 cada.
(Existem 2 variáveis e a classificação é também 2.)
Mas se apenas soubermos que
- 2 maçãs e 3 bananas custam $7
- 4 maçãs e 6 bananas custam $14
Não podemos ir mais longe porque a segunda linha de dados é apenas o dobro da primeira e não nos dá qualquer nova informação.(Há 2 variáveis e a classificação é apenas 1.)
Tem também utilizações na comunicação, estabilidade de sistemas e mais.
Dependência Linear
Em vez de “não são feitas de” dizemos que são linearmente independentes, o que é uma ideia importante.
Linear significa que podemos multiplicar por uma constante, mas sem poderes ou outras funções. A constante pode ser qualquer número real (0, 1, qualquer número inteiro, fracção, negativos, etc.).
Dependência significa que dependem uma da outra, por outras palavras, podemos somar alguns (depois de multiplicar por uma constante) para fazer outro.
Imagine que são vectores (têm direcção e comprimento). Podemos combinar os outros vectores (esticados ou encolhidos conforme necessário) para obter o mesmo resultado?
br>c = a + 2b,
so c é linearmente dependente de a e b
p>Também notar que:
- a e b são juntos linearmente independentes: não podemos usar a por si só para chegar a onde b está, ou vice-versa.
- li> O mesmo é verdade para b e c, ou a e c.
- mas a, b e c são juntos linearmente dependentes.
Pensando apenas em a e b: podemos realmente chegar a qualquer parte do plano utilizando esses dois vectores:
br>Vectores a e b abrangem todo o plano.
Quando os vectores são linearmente independentes e abrangem todo um espaço, dizemos que são uma “base” desse espaço.
Assim, a e b são uma base do plano 2D.
Nota: espaço é um termo geral que abrange dimensões 1, 2, 3 ou superiores, mas chamamos frequentemente espaço 2D de plano.
Então a e b são tão úteis como os eixos x,y. E o mesmo poderia ser dito para quaisquer 2 vectores linearmente independentes no plano 2D.
Os pares mais básicos de vectores linearmente independentes são (1,0) e (0,1), que formam a matriz de identidade 2×2:
/div>
Fazem essencialmente os eixos x,y familiares:
e em 3D:
Dependência Linear xyz
>br>
e em 4D:
/div>
OK, isso é um pouco difícil de ilustrar, mas os números funcionam bem até às dimensões que se deseje!
Como encontrar o Rank
É geralmente melhor usar software para encontrar o Rank, existem algoritmos que brincam com as linhas e colunas para o calcular. Mas em alguns casos podemos descobrir nós próprios.
Para uma matriz quadrada o determinante pode ajudar: um determinante não zero diz-nos que todas as filas (ou colunas) são linearmente independentes, pelo que é “de nível completo” e o seu nível é igual ao número de filas.
Exemplo:Será que estes vectores 4d são linearmente independentes?
/div>
O determinante é (utilizando a Calculadora Matricial):
1(2(3×4-0×0)-2(0×4-0×1)+0(0×0-3×1))-2(0(3×4-0×0)-2(1×4-0×0)+0(1×0-3×0))+3(0(0×4-0×1)-2(1×4-0×0)+0(1×1-0×0))-4(0(0×0-3×1)-2(1×0-3×0)+2(1×1-0×0)) = 8
O determinante não é zero, pelo que todos devem ser linearmente independentes.
E assim é a classificação completa, e a classificação é 4,
Por isso sabemos que é de facto uma base para o espaço 4D: utilizando estes 4 vectores podemos abranger todo o espaço 4D.
Um grande exemplo onde a matemática nos pode dizer algo que não podemos facilmente imaginar.
Outras Propriedades
A classificação não pode ser maior do que a menor dimensão da matriz.
Exemplo: para uma matriz 2×4 a classificação não pode ser maior que 2
Quando a classificação é igual à menor dimensão é chamada “classificação completa”, uma classificação menor é chamada “classificação deficiente”.
A classificação é pelo menos 1, excepto para uma matriz zero (uma matriz feita de todos os zeros) cuja classificação é 0.