PCB Design & Análise

Esta forquilha de afinação C5 vibrará na sua frequência natural húmida

Os que estão familiarizados com os osciladores são mais propensos a pensar em termos de um oscilador harmónico simples, como um pêndulo ou uma massa sobre uma mola. Estes sistemas são conceptualmente simples, mas os seus modelos matemáticos não têm em conta as propriedades realistas nestes sistemas. Qualquer oscilador tem alguns parâmetros físicos importantes, e a resposta do sistema quando acionado não corresponderá à resposta vista quando permitido ao oscilador livremente.

Na electrónica, diferentes circuitos funcionarão como osciladores, onde a tensão e a corrente exibem uma resposta periódica no tempo. Tal como os osciladores mecânicos, os circuitos dos osciladores podem exibir ressonância nas condições certas. As coisas tornam-se matematicamente confusas para alguns designers, na medida em que a resposta real de um oscilador é definida em termos de três frequências diferentes. Vamos esclarecer a diferença entre a frequência ressonante vs. frequência natural em circuitos de osciladores puramente lineares.

Frequência de Oscilação Amortecida vs. Frequência Natural em Osciladores Não Controlados

Embora possamos quantificar uma frequência natural em osciladores harmónicos mecânicos e eléctricos, o sistema nunca oscila realmente na frequência natural. Isto acontece porque, num modelo ideal para um oscilador, gostamos de ignorar o efeito de amortecimento para que possamos compreender alguns aspectos básicos do sistema. Num oscilador mecânico, isto significa que ignoramos brevemente a fricção ou qualquer outro mecanismo que dissipa a energia cinética. Num circuito, isto significa que omitimos elementos de circuito que dissipam energia como calor, ou seja, o circuito contém apenas elementos capacitivos e indutivos.

Quando um oscilador não accionado e não amortecido é deslocado do equilíbrio, o sistema irá oscilar à sua frequência natural. Contudo, os circuitos osciladores reais contêm sempre algum amortecimento; num circuito LC, os condutores têm alguma pequena quantidade de resistência, o que proporciona amortecimento no circuito. Isto também é verdade nos osciladores mecânicos; há sempre alguma fonte de amortecimento que converte energia cinética em calor, razão pela qual um pêndulo oscilante acaba por abrandar até parar.

O efeito do amortecimento leva a dois fenómenos em osciladores não controlados que podem oscilar naturalmente quando deslocados do equilíbrio:

• A oscilação diminui com o tempo. O amortecimento num circuito oscilador ocorre porque alguma energia eléctrica (ou seja, a energia cinética das cargas fluentes) se perde como calor. Isto faz com que a amplitude da oscilação se deteriore com o tempo.

• A frequência de oscilação amortecida não é igual à frequência natural. O amortecimento provoca que a frequência da oscilação amortecida seja ligeiramente menor do que a frequência natural. A frequência de oscilação amortecida é definida na equação abaixo:

A frequência de oscilação de um amortecido, oscilador não accionado

Eventualmente, quando a taxa de amortecimento é igual à frequência natural, não há oscilação transitória, o que significa que a tensão e a corrente no circuito apenas decaem de volta ao equilíbrio; isto é conhecido como amortecimento crítico. Como a taxa de amortecimento continua a aumentar acima da frequência natural, o tempo necessário para que a tensão e a corrente voltem a cair para o equilíbrio torna-se mais longo.

Se fosse para efectuar uma análise transitória de um circuito oscilador e medir a frequência de oscilação, não estaria a medir a frequência natural. Na realidade, está a medir a frequência de oscilação amortecida definida na equação acima. Pode então extrair a taxa de amortecimento traçando o logaritmo natural dos dados de decaimento (mostrados usando pontos vermelhos no gráfico abaixo) na forma de onda de resposta ao longo do tempo; o negativo da inclinação desta linha é igual à taxa de amortecimento.

A frequência de oscilação de um amortecido, Oscilador não motorizado

No gráfico acima, os sucessivos máximos são marcados com pontos vermelhos, e o logaritmo destes dados de corrente eléctrica são traçados no gráfico direito. A partir da linha de regressão, vemos que a taxa de amortecimento neste circuito é de 0,76 por segundo. A taxa de oscilação amortecida pode ser determinada entre dois máximos consecutivos no gráfico da esquerda e tem um valor de 3,929 rad por segundo. Uma vez conhecida a taxa de amortecimento e a frequência de oscilação amortecida, é possível calcular facilmente a frequência natural usando a equação acima. Nesta simulação, a frequência natural é de 4 rad por segundo. Também se pode ver pela curva de decaimento exponencial que a corrente inicial era 1 A.

Frequência ressonante vs. Frequência natural em osciladores controlados

Quando um circuito oscilador é controlado com um sinal periódico, a corrente e a tensão oscilarão com a mesma taxa de repetição que o sinal de condução. Contudo, as formas de onda não corresponderão perfeitamente porque a função de transferência de um circuito oscilador irá distorcer estes sinais; por outras palavras, o circuito oscilador também actua como um filtro/amplificador (mais sobre isto abaixo). Para ver como diferentes circuitos osciladores podem comportar-se, ajuda a considerar um oscilador mecânico que só é accionado com um sinal sinusoidal.

Resonância é um fenómeno que resulta quando um oscilador é accionado com um sinal periódico com uma frequência específica, conhecida como frequência ressonante. Num oscilador accionado sem amortecimento, a frequência ressonante é igual à frequência natural. Este é sempre o caso em osciladores não amortecidos, mas nem sempre é o caso em osciladores amortecidos. Os osciladores de accionamento real têm amortecimento, e a frequência ressonante nem sempre é igual à frequência natural. Para um oscilador mecânico amortecido típico, a frequência ressonante é definida na seguinte equação:

Frequência ressonante vs frequência natural de um oscilador mecânico amortecido conduzido

Nota que a ressonância só pode ocorrer quando a frequência natural é maior que a taxa de amortecimento, multiplicada pela raiz quadrada de 2. Se o amortecimento for demasiado grande, então a ressonância não pode ocorrer.

E o caso de amortecimento pequeno? No limite onde a constante de amortecimento é zero, a frequência ressonante é igual à frequência natural e não há dissipação de energia no circuito. Como resultado, quando um oscilador não amortecido é conduzido exactamente à sua frequência natural, a amplitude da oscilação resultante irá (teoricamente) divergir para o infinito a uma taxa linear. Num circuito real, os efeitos não lineares acabarão por assumir a alta voltagem/corrente, o que pode causar a resposta à saturação, ou provocar a queima do circuito.

Há uma certa gama de frequências entre as quais o oscilador mecânico não exibirá ressonância quando accionado, mas ainda assim exibirá uma oscilação decrescente quando deslocado do equilíbrio. Esta oscilação decadente ainda irá ocorrer com a frequência de oscilação amortecida definida na primeira equação acima. Voltando a um oscilador mecânico, temos:

Caso onde a ressonância é eliminada, mas ainda pode haver uma oscilação amortecida

Nota que as condições acima discutidas para um oscilador mecânico também se aplicam a um circuito RL com um condensador paralelo.

Funções de transferência do oscilador

O amortecimento num circuito irá definir a função de transferência do circuito, que é normalmente descrita em termos da sua largura de banda. Quando o oscilador é accionado com um sinal sinusoidal, a saída será também sinusoidal. No entanto, quando o oscilador é accionado com um sinal periódico não sinusoidal (por exemplo, uma onda dente de serra, sinal modulado de frequência, fluxo de impulsos de relógio, ou outra forma de onda analógica repetitiva), então as formas de onda de tensão e corrente resultantes no oscilador podem não se assemelhar ao sinal de accionamento. Pode extrair a função de transferência de uma varredura de frequência aplicando uma fonte sinusoidal ao seu circuito do oscilador. Exemplos que mostram estas funções de transferência no domínio da frequência para diferentes taxas de amortecimento para um oscilador mecânico são mostrados abaixo.

Curvas de amplitude para um oscilador mecânico em função da frequência de condução

Nota que estas curvas são normalizadas em relação à frequência natural. Mais uma vez, certos circuitos RLC terão curvas semelhantes, enquanto outros (por exemplo, o circuito RLC da série) terão curvas que sempre atingem o pico na frequência natural, ou seja, frequência ressonante = frequência natural.

Os gráficos acima para um oscilador mecânico mostram como o pico em cada curva (que corresponde à frequência ressonante) se move em direcção à frequência natural à medida que a taxa de amortecimento diminui. Cada uma destas curvas pode ser pensada como uma função de transferência. Determinar como cada uma destas curvas afecta um sinal de condução analógico arbitrário no domínio do tempo requer trabalhar com transformadas Fourier ou transformadas Laplace, o que está um pouco além do âmbito deste artigo.

Não importa que tipo de circuito oscilador esteja a projectar, pode facilmente distinguir a frequência ressonante vs. frequência natural do seu circuito com o Simulador de PSpice OrCAD da Cadência. Este poderoso pacote inclui ferramentas de análise que retiram dados directamente dos seus esquemas de circuito e determinam o comportamento dos seus designs de PCB mais complexos.

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