SEMIGROUPS E OPERADORES DISSIPATIVOS
18 Que A seja um operador para o qual a equação diferencial u′(t) = A(u(t)) tem “soluções” de algum tipo. Mais precisamente, suponha que M é um subconjunto de um espaço Banach, e para cada x0 ∈ M há uma solução única u : =exp(-xλ)=-1λg(x)exp(-xλ).
Integra ambos os lados – começando por x = 0, digamos – para obter
para alguma constante C. Para encontrar o valor de C, tomar limites em ambos os lados desta equação como x → ∞. Temos f(x) → 0 desde que f desaparece em ∞, e assim C=1λ∫0∞g(t)exp(-t/λ)dt. Esta integral converge, já que g desaparece ao infinito e exp(-t/λ) desaparece exponencialmente rápido. Portanto, a última equação apresentada pode ser reescrita
(I – λA)-1 é um operador linear não-expansivo definido em toda a parte em C0(ℝ).
Este é típico do tipo de operador ao qual o teorema Crandall-Liggett é aplicável – mas enfatizamos que esse teorema também se aplica a operadores muito mais complicados.
Exercicio Modificando os cálculos acima, mostrar que (I + λA)-1 é também um operador linear não-expansivo definido em toda a parte em C0(ℝ), para cada λ > 0.
20 Que X seja um espaço Banach, e que J : X → P(X*) seja o seu mapeamento da dualidade (definido como em 28.44). Que A seja algum mapeamento de um subconjunto de X para X. Então as duas condições seguintes são equivalentes; se uma (portanto ambas) for satisfeita, dizemos que A é dissipativa (ou -A é acretiva):
Prova (seguindo Cioranescu ). Let y1 = A(x1) e y2 = A(x2). Deixar x^=x1-x2 e y^=y1-y2; então devemos mostrar que
if e apenas se
For (B′) ⇒ (A′) simplesmente calculamos
do qual concluímos ambos
p>Desde que η0 está na unidade bola, podemos concluir ‖x^‖≤η0(x^) e ||η0||| = 1. Depois φ=‖x^‖η0 é um membro de J(x^), satisfazendo φ(y^)≤0.
21 Que X seja um espaço Banach, e que J : X → P(X*) seja o seu mapeamento da dualidade. Que A seja um mapeamento de algum subconjunto de X para X, e que ω seja um número não-negativo. Então as três condições seguintes são equivalentes (exercício); se forem satisfeitas, dizemos que A é Ω-dissipativo:
22 Se A for um mapeamento Lipschitziano, com 〈A〉Lip ≤ ω, então A e -A são ambos ω-dissipativos. Por esta razão, as condições de dissipação são por vezes chamadas condições de Lipschitz unilaterais.
No entanto, essa terminologia pode ser enganadora. Por exemplo, defina A como em 30.19. Então A e -A são ambas dissipativas, mas A não é Lipschitziano; de facto, A nem sequer é contínuo.
se X for unidimensional – isto é, se X for apenas a linha real – então A é dissipativo se e apenas se (x1 – x2)(A(y1) – A(y2)) ≤ 0; essa desigualdade é satisfeita se e apenas se A for uma função decrescente.
24 Que C seja um subconjunto de um espaço Banach X, e que S seja um semi-grupo de auto-mapeamentos de C. Suponha-se que 〈S(t)〉Lip ≤ ≤ eωt para alguma constante ω ≥ 0 e todas t ≥ 0. Definir um mapeamento de um subconjunto de C em X por
onde o domínio do operador A é o conjunto de todos x ∈ C para o qual existe o limite. Depois A é ω-dissipative.
Proof Fixar qualquer x1, x2 ∈ Dom(A) e λ ∈ (0, 1/ω); let h > 0. Then
Take limits as h ↓ 0, to prove
Prova Let x = R(α)u e y = R(β)υ; assim u = x – αA(x) e υ = y – βA(y). Escolha alguns φ ∈ J(x – y) tal que φ ≤ ≤ ω||||x – y|||2. Depois
Divide through by |||x – y|||| para obter a desigualdade desejada.
26 Que os números α e β sejam positivos. Que cj,k sejam números reais não negativos que satisfaçam
para todos os inteiros não negativos j, k. Depois cj,k≤(jα-kβ)2+jα2+kβ2 para todos os números inteiros não negativos j, k.
>de uma forma mais geral, deixe α, β > 0 e ω ≥ 0 com max{ωα, ωβ} < 1. Que cj,k sejam números reais não negativos que satisfaçam
para todos os inteiros não negativos j, k. Então
para todos os inteiros não negativos j, k.
Observações Esta desigualdade será utilizada em 30,27. Mostra que cj,k pode ser pequeno mesmo com j, k grande, desde que α, β, e jα – kβ sejam pequenos. Numa primeira leitura, o leitor pode desejar concentrar-se no caso especial de ω = 0, indicado no primeiro parágrafo do lema, uma vez que esse caso é ligeiramente mais simples na notação e ainda contém a maior parte das ideias principais.
Linha de prova Primeiro, alguns cálculos preliminares. Mostrar que
também, de ω(α + β)2 – 2(α + β) ≤ 0 ≤ ≤ αβω obtemos
Também, pelo Cauchy-Bunyakovski-Schwarz Inequality (2.10),
para quaisquer números não negativos p e q.
Agora, a desigualdade de Rasmussen-Kobayashi (RK) é clara a partir de (1) quando j = 0 ou k = 0. A desigualdade será provada para j e k maiores por indução dupla. Nos cálculos que se seguem, o passo (Ind) é pela hipótese de indução. Compute
Esta completa o passo de indução, e assim a prova de (RK).
27 O teorema de Crandall-Liggett é geralmente visto como um teorema sobre equações diferenciais nos espaços Banach. O Teorema de Crandall-Liggett não tem aplicações, excepto nesse cenário. Contudo, uma grande parte da prova pode ser apresentada na configuração mais simples de um espaço métrico completo. Tomaremos essa abordagem porque pode ser conceptualmente mais simples de compreender sem as distracções da estrutura linear, e porque proporciona uma aplicação interessante de completude métrica. É um dos poucos casos conhecidos por este autor em que usamos mapeamentos de Lipschitz sem utilizar o Teorema da Contracção de Ponto Fixo.
No teorema abaixo, permitimos T = +∞ se ω = 0. Os cálculos são ligeiramente mais simples nesse caso, pelo que os principiantes podem querer concentrar-se nesse caso.
and
e assumir que o conjunto D = {x ∈ M : Γ(x) < ∞} é denso em M.
O mapa (t, x) ↦ S(t)x é conjuntamente contínuo de . O livro de Haraux cobre parte da teoria espacial Banach mas também dedica especial atenção ao caso espacial Hilbert.
O teorema Crandall-Liggett, tal como o apresentamos, estende-se prontamente à inclusão diferencial u′(t) ∈ A(u(t)). Se reforçarmos a condição de gama, e exigirmos que Ran(I – λA) = X para todos suficientemente pequeno λ > 0, então é possível provar a existência de soluções para o problema do valor inicial
Much foi também escrito sobre inclusões diferenciais do formulário u′(t) ∈ A(t, u(t)), onde A(t, ⋅) é um operador Ω-dissipativo para cada t fixo. Uma referência para este assunto é Pavel; este livro também introduz muitas aplicações a equações diferenciais parciais. A teoria deste assunto não é tão elegante, mas há uma boa razão para tal. Para uma aplicabilidade máxima às equações diferenciais parciais, os investigadores têm-se interessado em problemas onde os diferentes operadores A(t, ⋅), para diferentes valores fixos de t, têm domínios diferentes, e onde Dom(A(t, ⋅)) varia erraticamente com t. Isto torna o problema consideravelmente mais complicado.
30 Nas páginas anteriores desenvolvemos várias teorias substancialmente diferentes de problemas de valores iniciais, usando hipóteses de condições de Lipschitz, compacidade, isotonicidade, e dissipatividade. Historicamente, estas teorias desenvolveram-se separadamente, para diferentes tipos de aplicações. É tentador tentar transformar estas teorias em casos especiais de uma teoria única e mais geral. Certamente é possível provar pelo menos alguns resultados fracos num cenário mais geral – ver por exemplo 30.6.
No entanto, na verdade, estamos muito longe de uma teoria completa ou unificada. As várias subteorias principais – Lipschitzness, compactness, isotonicity, etc. – são de natureza muito diferente; entre elas existem grandes lacunas conceptuais. A literatura contém apenas um punhado de exemplos de inexistência de soluções, a maioria deles semelhantes ao exemplo 30.4 de Dieudonné; os exemplos de inexistência não são suficientemente diversos para explicar as lacunas entre as nossas teorias de existência. Assim, estamos muito longe de uma compreensão clara do que “realmente” faz funcionar os problemas de valor inicial.
Mais modesto do que a procura de uma grande teoria unificada é o programa para resolver problemas da forma u′(t) = A(u(t)) + B(u(t)), onde A e B são operadores de dois tipos diferentes – por exemplo, onde A satisfaz uma condição de dissipatividade e B satisfaz uma condição de compactação. Uma teoria deste tipo incluiria as teorias da dissipatividade e da compacidade como casos especiais, uma vez que poderíamos tomar A = 0 ou B = 0 (uma vez que o operador 0 é simultaneamente dissipativo e compacto). Este programa teve algum sucesso, pelo menos quando os operadores são contínuos – por exemplo, a soma de um operador dissipativo contínuo, um operador compacto contínuo, e um operador isotónico contínuo é conhecido por gerar uma evolução; ver Volkmann . Mas sem continuidade, o problema ainda está em aberto. Para o problema compacto mais dissipativo, algumas discussões e resultados parciais podem ser encontrados em Schechter e Vrabie .