Derivação da Fórmula Exacta
P>Se uma determinada experiência requer a realização de múltiplos instrumentos. Cada um destes instrumentos tem uma variabilidade diferente nas suas medições. Os resultados de cada instrumento são dados como: a, b, c, d… (Para efeitos de simplificação, apenas as variáveis a, b, e c serão utilizadas em toda esta derivação). O resultado final desejado é: a, b, e c. Pode escrever-se que \(x\) é uma função destas variáveis:
\
p>Porque cada medição tem uma incerteza sobre a sua média, pode escrever-se que a incerteza do dxi da medida-ith depende da incerteza das medida-ith de a, b, e c:
\
O desvio total de \(x\) é então derivado da derivada parcial de x em relação a cada uma das variáveis:
\
Uma relação entre os desvios padrão de x e a, b, c, etc…. é formada em duas etapas:
- por equação quadrada \ref{3}, e
- tomando a soma total de \(i = 1\) a \(i = N\), onde \(N\) é o número total de medições.
No primeiro passo, dois termos únicos aparecem no lado direito da equação: termos quadrados e termos cruzados.
Termos quadrados:
\
Termos cruzados:
\
Termos quadrados, devido à natureza da quadratura, são sempre positivos, e portanto nunca se anulam mutuamente. Pelo contrário, os termos cruzados podem cancelar-se mutuamente, devido à possibilidade de cada termo poder ser positivo ou negativo. Se da, db, e dc representarem incertezas aleatórias e independentes, cerca de metade dos termos cruzados serão negativos e metade positivos (isto deve-se principalmente ao facto de as variáveis representarem incertezas sobre uma média). Com efeito, a soma dos termos cruzados deve aproximar-se de zero, especialmente à medida que aumenta. No entanto, se as variáveis estiverem correlacionadas em vez de independentes, o termo cruzado não pode ser cancelado.
Assumindo que os termos cruzados cancelam, então o segundo passo – soma de \(i = 1\) a \(i = N\) – seria:
p>Dividindo ambos os lados por \(N – 1\):
\
O passo anterior criou uma situação em que a Equação \ref{7} poderia imitar a equação de desvio padrão. Isto é desejado, porque cria uma relação estatística entre a variável \(x), e as outras variáveis \(a), \(b), \(c), etc… como se segue:
A equação de desvio padrão pode ser reescrita como a variância (\sigma_x^2\) de \(x\):
p>>p> Equação de Reescrita \ref{7} usando a relação estatística criada produz a Fórmula Exacta para Propagação do Erro:
Assim, o resultado final é alcançado. A equação \ref{9} mostra uma relação estatística directa entre múltiplas variáveis e os seus desvios padrão. Na secção seguinte, são dadas derivações para cálculos comuns, com um exemplo de como a derivação foi obtida.
| Type | Exemplo | Padrão Desvio (\(\sigma_x\)) |
|---|---|---|
| Adição ou Subtracção | \(x = a + b – b c\) | \(\sigma_x= \sqrt{ {\sigma_a}^2+{\sigma_b}^2+{\sigma_c}^2} \label{10}) |
| Multiplicação ou Divisão | \(x = \dfrac{ a x b}{c}) | \( \dfrac{\sigma_x}{x}=\sqrt{\left(\dfrac{\sigma_a}{a}\right)^2+\left(\dfrac{\sigma_b}{b}\right)^2+\left(\dfrac{\sigma_c}{c}\right)^2} \) (11) |
| Exponencial | \(x = a^y\) | \(\dfrac{\sigma_x}{x}=y(\dfrac{\sigma_a}{a})} (12) |
| Logaritmo | \(x = \log(a)\) | \(\sigma_x=0,434(\dfrac{\sigma_a}{a})} (13) |
| Anti-logarítmico | \(x = antilog(a)\) | \(\dfrac{\sigma_x}{x}=2.303({\sigma_a})} (14) |
Onde \(a), \(b), e c) são variáveis medidas a partir de uma experiência e as variáveis “sigma_a”, “b” e “c” são os desvios padrão dessas variáveis.
Adição, subtracção, e equações logarítmicas conduzem a um desvio padrão absoluto, enquanto que a multiplicação, divisão, exponencial, e equações anti-logarítmicas conduzem a desvios padrão relativos.
Derivação de Exemplo Aritmético
A Fórmula Exacta para Propagação de Erro na Equação {{9}} pode ser usada para derivar os exemplos aritméticos anotados na Tabela {1}(PageIndex{1}). Começando com uma equação simples:
onde \\(x) são os resultados desejados com um dado desvio padrão, e \(a), \(b), e \(c) são variáveis experimentais, cada uma com um desvio padrão diferente. Tomando a derivada parcial de cada variável experimental, \(a), \(b), e \(c\):
>p>
p>> e
p>>p>>p>>p>>p>Plugging these partial derivatives into Equation \(\ref{9}) gives:
p> Dividindo a Equação {17} pela Equação {15} rendimentos ao quadrado:
Cancelar os termos e raízes quadradas de ambos os lados produz a Equação 11 da Tabela {1}(PageIndex{1}):
\\
Exemplo \(\PageIndex{1}})
p>Continuar o exemplo da introdução (onde estamos a calcular a absortividade molar de uma molécula), suponhamos que temos uma concentração de 13.7(±0,3) moles/L, um percurso de 1,0(±0,1) cm, e uma absorção de 0,172807(±0,000008). A equação para a absorção molar é ε = A/(lc).
Solução
P>P>P>Posto que a Lei da Cerveja trata da multiplicação/divisão, usaremos a Equação 11:
\
\
Como indicado na nota acima, a Equação 11 produz um desvio padrão relativo, ou uma percentagem da variável ε. Usando a Lei da Cerveja, ε = 0,012614 L moles-1 cm-1 Portanto, o {\sigma_{\silon}} para este exemplo seria 10,237% de ε, que é 0,001291.
Contagem de números significativos, a resposta final seria:
ε = 0,013 ± 0.001 L moles-1 cm-1
Exemplo \(\PageIndex{2}\)
Se lhe for dada uma equação que relacione duas variáveis diferentes e dadas as incertezas relativas de uma das variáveis, é possível determinar a incerteza relativa da outra variável utilizando o cálculo. Nos problemas, a incerteza é normalmente dada como uma percentagem. Digamos que medimos o raio de um objecto muito pequeno. O problema pode indicar que existe uma incerteza de 5% ao medir este raio.
Solução
Para utilizar realmente esta percentagem para calcular incertezas desconhecidas de outras variáveis, temos primeiro de definir o que é a incerteza. A incerteza, em cálculo, é definida como:
(dx/x)=(∆x/x) = incerteza
Exemplo \(\PageIndex{3})
Vejamos novamente o exemplo do raio de um objecto. Se soubermos que a incerteza do raio é de 5%, a incerteza é definida como (dx/x)=(∆x/x)= 5% = 0,05.
Agora estamos prontos a utilizar o cálculo para obter uma incerteza desconhecida de outra variável. Digamos que medimos o raio de uma artéria e descobrimos que a incerteza é de 5%. Qual é a incerteza da medição do volume de sangue que passa através da artéria? Digamos que a equação relativa ao raio e volume é:
\
Onde c é uma constante, r é o raio e V(r) é o volume.
Solução
O primeiro passo para encontrar a incerteza do volume é compreender a nossa informação dada. Uma vez que nos é dado o raio tem uma incerteza de 5%, sabemos que (∆r/r) = 0,05. Estamos à procura (∆V/V).
Agora que fizemos isto, o passo seguinte é tomar a derivação desta equação para obter:
\
Agora podemos multiplicar ambos os lados da equação para obter:
\
Desde que estamos à procura (∆V/V), dividimos ambos os lados por V para obter:
\\
Damos a equação do volume a ser \(V = c(r)^2\), para que possamos voltar a ligar isto à nossa equação anterior para que \(V\) obtenhamos:
p>
Agora podemos cancelar variáveis que estão tanto no numerador como no denominador a obter:
\\
Agora reduzimos a equação para que ∆r/r seja deixado. Sabemos que o valor da incerteza para ∆r/r é de 5%, ou 0,05. Ligando este valor para ∆r/r obtemos:
\dfrac{∆V}{V} = 2 (0,05) = 0,1 = 10\%\]
A incerteza do volume é de 10%. Este método também pode ser utilizado em química, e não apenas no exemplo biológico mostrado acima.