Existem três formas e meia diferentes de utilizar however*. Esta precisa de um ponto-e-vírgula.
A primeira é usá-lo como um advérbio conjuntivo. Neste sentido, o significado de “contudo” é que a cláusula independente que se segue conta a cláusula independente antes dela (negando-a, dando uma advertência, afirmando algo como verdadeiro que não esperaríamos considerando a primeira cláusula, etc.)
Como uma cláusula totalmente independente, precisa de um ponto-e-vírgula para a separar. (De acordo com o link MετάEd dado no comentário à pergunta, embora note que um advérbio conjuntivo não é o mesmo que uma conjunção, por isso o “Não o use com conjunções” não se aplica).
E com advérbios conjuntivos de mais de uma sílaba, usamos uma vírgula depois dela para ajudar a esclarecer qual é a segunda cláusula independente.
É o uso do número 1. Número 1½ é que, uma vez que são cláusulas independentes, podemos apenas tê-las como frases separadas:
O nosso avião foi atrasado durante a noite. Contudo, as companhias aéreas reembolsaram-nos pelo alojamento.
Favoreceríamos uma nova frase ou um ponto e vírgula, dependendo se queríamos a sugestão do ponto e vírgula de um laço particularmente forte entre as duas cláusulas.
(Há quem não goste de começar uma frase com, no entanto, alguns guias de estilo a proíbem, mas não há razão gramatical para não o fazer, e é uma opção tão boa como qualquer outra. A maioria dos guias de estilo permitem-no agora.)
Podemos usar no entanto como um aparte, assinalando que a frase (ou possivelmente uma cláusula independente ou parentética, embora como uma questão de estilo que pode ficar inquieta) se opõe à anterior:
Parece que ele está perturbado. Ela disse-me, contudo, que ele tem sempre aquele olhar na cara.
Aqui usamos uma vírgula tanto antes como depois.
Finalmente, podemos usá-la para significar “em qualquer extensão ou grau”, “de qualquer forma” ou “por qualquer meio”. Este sentido não deve usar um ponto e vírgula ou uma vírgula.
No entanto, usamos pontuação, o objectivo é sempre uma expressão clara.
Este objectivo é partilhado por todos os escritores, no entanto, decidem lidar com os casos em que os diferentes guias de estilo discordam.
Se não usar um ponto e vírgula nos casos da sua pergunta, pode acabar por usar, no entanto, neste sentido, quando pretende o sentido do advérbio conjuntivo:
Algumas frases são ambíguas; no entanto, esforçamo-nos por evitar isto.
Algumas frases são ambíguas; contudo, esforçamo-nos por evitar isto.
A primeira frase aqui declara dois pensamentos separados, e aponta que um é oposto ao outro: “Algumas frases são ambíguas” e “esforçamo-nos por evitar isto”.
A segunda frase afirma que por muito que tentemos evitá-lo, algumas frases são ambíguas.
Estas duas frases gramaticalmente correctas diferem apenas em se seguimos a regra do ponto e vírgula que menciona, mostrando claramente o seu valor.
*Quatro e meio se incluirmos o uso informal como forma enfática de como; “No entanto, conseguiu isso?”. Isto vem de um sentido em que o original como + sempre funciona, (“Como conseguiu isso?”) e muitos diriam que esta é a única forma correcta aqui, e no entanto não deve ser usada.