In einem früheren Kapitel haben wir gelernt, dass
$3^{2}=3\cdot 3=9$
Wir haben gesagt, dass 9 das Quadrat von 3 ist. Das Quadrat von -3 ist ebenfalls 9
$$\left (-3 \right )^{2}=\left (-3 \right )\cdot \left (-3 \right )=9$
3 und -3 werden als Quadratwurzeln von 9 bezeichnet.
Alle positiven reellen Zahlen haben zwei Quadratwurzeln, eine positive Quadratwurzel und eine negative Quadratwurzel. Die positive Quadratwurzel wird manchmal auch als Hauptquadratwurzel bezeichnet. Der Grund dafür, dass wir zwei Quadratwurzeln haben, ist oben beispielhaft dargestellt. Das Produkt zweier Zahlen ist positiv, wenn beide Zahlen das gleiche Vorzeichen haben, wie es bei Quadraten und Quadratwurzeln der Fall ist
$$a^{2}=a\cdot a=\left ( -a \right )\cdot \left ( -a \right )$
Eine Quadratwurzel wird mit einem Radikalsymbol √ geschrieben und die Zahl oder der Ausdruck innerhalb des Radikalsymbols, im Folgenden mit a bezeichnet, wird Radikand genannt.
$\sqrt{a}$
Um anzuzeigen, dass wir sowohl die positive als auch die negative Quadratwurzel eines Radikanden wollen, setzen wir das Symbol ± (gelesen als Plus-Minus) vor die Wurzel.
$pm \sqrt{9}=\pm 3$
Null hat eine Quadratwurzel, die 0 ist.
$\sqrt{0}=0$
Negative Zahlen haben keine reellen Quadratwurzeln, da ein Quadrat entweder positiv oder 0 ist.
Wenn die Quadratwurzel einer ganzen Zahl eine andere ganze Zahl ist, dann nennt man das Quadrat ein perfektes Quadrat. Zum Beispiel ist 25 ein perfektes Quadrat, da
$\pm \sqrt{25}= \pm 5$
Wenn der Radikand kein perfektes Quadrat ist, d.h. die Quadratwurzel ist keine ganze Zahl, dann muss man die Quadratwurzel approximieren
$\pm \sqrt{3}= \pm 1.73205…\approx \pm 1.7$
Die Quadratwurzeln von Zahlen, die kein perfektes Quadrat sind, gehören zu den irrationalen Zahlen. Das bedeutet, dass sie nicht als Quotient von zwei ganzen Zahlen geschrieben werden können. Die Dezimalform einer irrationalen Zahl lässt sich weder abschließen noch wiederholen. Die irrationalen Zahlen bilden zusammen mit den rationalen Zahlen die reellen Zahlen.
Beispiel
$irrational\: number\Rightarrow \sqrt{19}\approx 4.35889 …$
$rational\: number\Rightarrow 0.5=\frac{1}{2}$
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Bestimmen Sie, ob diese Zahlen rational oder irrational sind