Reflexive Relation auf Menge ist eine binäre, in der jedes Element auf sich selbst bezogen ist.
Lassen Sie A eine Menge sein und R sei die darin definierte Relation.
R sei reflexiv, wenn (a, a) ∈ R für alle a ∈ A, d.h. jedes Element von A ist R-bezogen auf sich selbst, also aRa für jedes a ∈ A.
Eine Relation R in einer Menge A sei nicht reflexiv, wenn es mindestens ein Element a ∈ A gebe, so dass (a, a) ∉ R.
Betrachten wir zum Beispiel eine Menge A = {p, q, r, s}.
Die Relation R\(_{1}\) = {(p, p), (p, r), (q, q), (r, r), (r, s), (s, s)} in A ist reflexiv, da jedes Element in A zu sich selbst R\(_{1}\)-bezogen ist.
Aber die Relation R\(_{2}\) = {(p, p), (p, r), (q, r), (q, s), (r, s)} ist in A nicht reflexiv, da q, r, s ∈ A aber (q, q) ∉ R\(_{2}\), (r, r) ∉ R\(_{2}\) und (s, s) ∉ R\(_{2}\)
GelöstesBeispiel einer reflexiven Relation auf einer Menge:
1.Eine Relation R ist auf der Menge Z (Menge aller ganzen Zahlen) definiert durch „aRb wenn und nur wenn 2a + 3b durch 5 teilbar ist“, für alle a, b ∈ Z. Untersuchen Sie, ob R eine reflexive Relation auf Z ist.
Lösung:
Lassen Sie a ∈ Z. Nun ist 2a + 3a = 5a, was durch 5 teilbar ist. Daher giltaRa für alle a in Z, d.h. R ist reflexiv.
2.Eine Relation R ist auf der Menge Z definiert durch „aRb wenn a – b durch 5 teilbar ist“ für a,b ∈ Z. Untersuche, ob R eine reflexive Relation auf Z ist.
Lösung:
Lassen Sie a ∈ Z. Dann ist a – a durch 5 teilbar. Daher gilt aRa für alle a in Z, d.h. R ist reflexiv.
3.Betrachten Sie die Menge Z, in der eine Relation R definiert ist durch ‚aRb wenn und nur wenn a +3b durch 4 teilbar ist, für a, b ∈ Z. Zeigen Sie, dass R eine reflexive Relation auf der MengeZ ist.
Lösung:
Lassen Sie a ∈ Z. Nun ist a + 3a = 4a, was durch 4 teilbar ist. Daher giltaRa für alle a in Z, d.h. R ist reflexiv.
4.Eine Relation ρ ist auf der Menge aller reellen Zahlen R durch ‚xρy‘ definiert, wenn und nur wenn |x – y| ≤ y ist, für x, y ∈ R. Zeigen Sie, dass ρ keine reflexive Relation ist.
Lösung:
Die Relation ρ ist nicht reflexiv, da x = -2 ∈ R, aber |x – x| = 0 ist, was nicht kleiner als -2(= x) ist.
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