Spezielle rechtwinklige Dreiecke | Math Wiki

Ein spezielles rechtwinkliges Dreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck mit einer regelmäßigen Eigenschaft, die Berechnungen auf dem Dreieck einfacher macht, oder für die einfache Formeln existieren. Zum Beispiel kann ein rechtwinkliges Dreieck Winkel haben, die ein einfaches Verhältnis bilden, wie z.B. 45-45-90. Dies wird als „winkelbasiertes“ rechtwinkliges Dreieck bezeichnet. Ein rechtwinkliges Dreieck auf Seitenbasis ist ein Dreieck, bei dem die Seitenlängen ein ganzzahliges Verhältnis bilden, z. B. 3-4-5. Wenn man die Verhältnisse der Winkel oder Seiten dieser speziellen rechtwinkligen Dreiecke kennt, kann man schnell verschiedene Längen in geometrischen Problemen berechnen, ohne auf fortgeschrittenere Methoden zurückgreifen zu müssen.

Winkelbasiert

„Winkelbasierte“ spezielle rechtwinklige Dreiecke werden durch das ganzzahlige Verhältnis der Winkel spezifiziert, aus denen das Dreieck zusammengesetzt ist. Das ganzzahlige Verhältnis der Winkel dieser Dreiecke ist so, dass der größere (rechte) Winkel gleich der Summe der kleineren Winkel ist: $m:n:(m+n)\,$ . Die Seitenlängen werden im Allgemeinen aus der Basis des Einheitskreises oder anderen geometrischen Methoden abgeleitet. Diese Form ist insofern interessant, als man mit ihr die Werte der trigonometrischen Funktionen für die Winkel 30°, 45°, & 60° schnell reproduzieren kann.

45-45-90-Dreieck

Konstruiert man die Diagonale eines Quadrats, ergibt sich ein Dreieck, dessen drei Winkel im Verhältnis $1:1:2\,$ . Da sich die drei Winkel zu 180° (π) addieren, messen die Winkel jeweils 45° $({\frac {\pi }{4}}),$ $({\frac {\pi }{4}}),$ und 90° $({\frac {\pi }{2}}).$ Die Seiten stehen im Verhältnis

$1:1:{\sqrt {2}}.\,$

Ein einfacher Beweis. Nehmen wir an, Sie haben ein solches Dreieck mit den Schenkeln a und b und der Hypotenuse c. Nehmen Sie an, dass a = 1 ist. Da zwei Winkel 45° messen, ist dies ein gleichschenkliges Dreieck und wir haben b = 1. Die Tatsache, dass $c={\sqrt {2}$ folgt unmittelbar aus dem Satz des Pythagoras.

30-60-90-Dreieck

Dieses ist ein Dreieck, dessen drei Winkel im Verhältnis $1:2:3\,$ stehen, und jeweils 30°, 60° und 90° messen. Da es sich bei diesem Dreieck um die Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks handelt, wird es von manchen auch als Hemieq-Dreieck bezeichnet. Die Bezeichnung 30-60-90 ist nicht nur umständlich, sie bezieht sich auch auf das Grad, eine willkürliche Einteilung des Winkelmaßes. Die Seiten stehen im Verhältnis $1-{\sqrt {3}}-2$ .

Der Beweis für diese Tatsache ist mit Hilfe der Trigonometrie eindeutig. Der geometrische Beweis ist zwar weniger offensichtlich, aber ebenso trivial:

Zeichnen Sie ein gleichseitiges Dreieck ABC mit der Seitenlänge 2 und mit dem Punkt D als Mittelpunkt des Segments BC. Zeichnen Sie eine Höhenlinie von A nach D. Dann ist ABD ein Dreieck 30-60-90 (Hemieq) mit Hypotenuse der Länge 2 und Basis BD der Länge 1. Dass der verbleibende Schenkel AD die Länge ${\sqrt {3}$ hat, folgt unmittelbar aus dem Satz des Pythagoras.

Seitenbasierte

Alle speziellen seitenbasierten rechtwinkligen Dreiecke besitzen Winkel, die nicht notwendigerweise rationale Zahlen sind, deren Seiten aber immer ganzzahlig lang sind und ein pythagoreisches Tripel bilden. Sie sind besonders nützlich, weil man sie sich leicht merken kann und jedes Vielfache der Seiten die gleiche Beziehung ergibt.

Gängige pythagoreische Tripel

Es gibt einige pythagoreische Tripel, die sehr bekannt sind, darunter:

$3:4:5\,$ $5:12:13\,$ $6:8:10\,$ (ein Vielfaches des 3:4:5-Triple) $8:15:17\,$ $7:24:25\,$

Das kleinste davon (und seine Vielfachen, 6:8:10, 9:12:15,…) ist das einzige rechtwinklige Dreieck mit Kanten in arithmetischer Progression. Dreiecke, die auf pythagoreischen Triplets basieren, sind heronisch und haben daher eine ganzzahlige Fläche.

Fibonacci-Dreiecke

Beginnend mit 5 ist jede andere Fibonacci-Zahl {0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, 233,377, 710,…} ist die Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit ganzzahligen Seiten, oder mit anderen Worten, die größte Zahl in einem pythagoreischen Tripel. Die Länge des längeren Schenkels dieses Dreiecks ist gleich der Summe der drei Seiten des vorangehenden Dreiecks in dieser Reihe von Dreiecken, und der kürzere Schenkel ist gleich der Differenz zwischen der vorangehenden übersprungenen Fibonacci-Zahl und dem kürzeren Schenkel des vorangehenden Dreiecks.

Das erste Dreieck in dieser Reihe hat Seiten der Länge 5, 4 und 3. Überspringt man 8, hat das nächste Dreieck die Seitenlängen 13, 12 (5 + 4 + 3) und 5 (8 – 3). Überspringt man 21, so hat das nächste Dreieck die Seitenlängen 34, 30 (13 + 12 + 5) und 16 (21 – 5). Diese Reihe setzt sich unendlich fort und nähert sich einem begrenzenden Dreieck mit den Kantenverhältnissen:

${\sqrt {5}}:2:1$ .

Dieses rechtwinklige Dreieck wird manchmal als Dom bezeichnet, ein Name, der von Andrew Clarke vorgeschlagen wurde, um zu betonen, dass es sich um das Dreieck handelt, das man erhält, wenn man ein Domino entlang einer Diagonale zerschneidet. Das Dom bildet die Grundlage des aperiodischen Pinwheel Tiling, das von John Conway und Charles Radin vorgeschlagen wurde.

fast-gleichschenklige pythagoreische Dreiecke

Gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke können keine Seiten mit ganzzahligen Werten haben. Es gibt jedoch unendlich viele fast-gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke. Das sind rechtwinklige Dreiecke mit ganzzahligen Seiten, bei denen sich die Längen der Nicht-Hypotenusen-Kanten um eins unterscheiden. Solche fast gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecke erhält man rekursiv mit der Pellschen Gleichung:

a0 = 1, b0 = 2 an = 2bn-1 + an-1 bn = 2an + bn-1

an ist Länge der Hypotenuse, n=1, 2, 3,… . Die kleinsten resultierenden pythagoreischen Tripel sind:

$3:4:5\,$ $20:21:29\,$ $119:120:169\,$ $696:697:985\,$

Berechnen gängiger trigonometrischer Funktionen

Bei der Berechnung gängiger trigonometrischer Funktionen werden spezielle Dreiecke als Hilfsmittel verwendet, siehe unten:

Grad	Radiant	sin	cos	tan
0	0	0	1	0
30	${\frac {\pi }{6}$	${\frac {1}{2}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{3}$
45	${\frac {\pi }{4}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}$	1
60	${\frac {\pi }{3}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}$	${\frac {1}{2}$	${\sqrt {3}$
90	${\frac {\pi }{2}$	1	0	–