Schwerpunkt eines Dreiecks (Wie man ihn findet, Definition, Formel, & Beispiele)
VideoDefinitionMedianWie findet man den MedianLängenSchwerpunkt
Zentroide mögen wie große Felsen aus dem Weltall klingen, aber sie sind tatsächlich wichtige Eigenschaften von Dreiecken. Sie haben auch Anwendungen in der Luftfahrt, da sie sich auf den Schwerpunkt (CG) von Formen beziehen.
Was Sie lernen werden:
Nachdem Sie sich durch diese Lektion und das Video gearbeitet haben, werden Sie in der Lage sein:
- Erinnern Sie sich an die Definition des Schwerpunkts eines Dreiecks und der Mediane von Dreiecken
- Erläutern Sie, wie man den Schwerpunkt eines Dreiecks findet
- Beziehen Sie den Schwerpunkt auf den Schwerpunkt
- Berechnen Sie die Länge der Mediane mit Hilfe eines Dreiecks
- Markieren Sie die Lage eines Schwerpunkts mit nur einem Median
Schwerpunkt eines Dreiecks
Jedes Dreieck hat einen einzigen Punkt irgendwo in der Nähe seiner „Mitte“, der es dem Dreieck ermöglicht, perfekt zu balancieren, wenn das Dreieck aus einem starren Material hergestellt ist. Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist dieser Gleichgewichtspunkt, der durch den Schnittpunkt der drei Mediane entsteht.
Wäre das Dreieck aus einem gleichmäßig dichten Material geschnitten, wie z.B. stabilem Karton, Blech oder Sperrholz, wäre der Schwerpunkt die Stelle, an der das Dreieck auf der Fingerspitze balancieren würde.
Median eines Dreiecks
Der Median eines Dreiecks ist das Liniensegment, das durch die Verbindung eines Scheitelpunkts mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite entsteht, etwa so:
Da jedes Dreieck drei Seiten und drei Winkel hat, hat es drei Mediane:
Wie man den Schwerpunkt findet
Um den Schwerpunkt eines beliebigen Dreiecks zu finden, konstruiert man Liniensegmente von den Eckpunkten der Innenwinkel des Dreiecks zu den Mittelpunkten ihrer gegenüberliegenden Seiten. Diese Liniensegmente sind die Mediane. Ihr Schnittpunkt ist der Schwerpunkt.
Der Schwerpunkt hat eine interessante Eigenschaft, außer ein Ausgleichspunkt für das Dreieck zu sein. Er ist immer 23 vom Scheitelpunkt entlang des Medians entfernt, was bedeutet, dass er auch 13 vom Mittelpunkt der Seite entfernt ist. Dies gilt für jedes Dreieck.
Eine andere Art, sich diese Aufteilung des Medians vorzustellen, ist, dass er ein Verhältnis von 2:1 ist, wobei die 2 immer der Teil vom Innenwinkel zum Schwerpunkt ist und die 1 immer der Abstand vom Schwerpunkt zum Mittelpunkt einer Seite.
Berechnen der Medianlängen
Hier ist △CAT mit den Medianen AW, TM und CE. Wir wissen, dass der Schwerpunkt, Punkt O, genau an dieser Stelle liegt:
- 23 der Entfernung entlang jedes Medians von den Innenwinkeln C, A und T
- 13 der Entfernung entlang des Medians vom Mittelpunkt der Seiten CA, AT und CT
Wenn wir wissen, dass der Schwerpunkt 6 cm vom Innenwinkel C entfernt ist, wie lang ist dann der Median CE?
Wenn wir wissen, dass der Schwerpunkt O 23 des Weges entlang des Medians AW liegt und 7,5 cm vom Innenwinkel A entfernt ist, wie lang ist dann der Median AW?
Denken Sie nach: 7,5 ist 23 von welcher Zahl?
Sagten Sie 11,25 cm? Wir hoffen es, denn das ist die richtige Antwort!
Finden des Schwerpunkts
Nachdem Sie nun wissen, dass der Schwerpunkt 23 des Abstands des Medians von einem Innenwinkel sein muss, können Sie den Schwerpunkt eines beliebigen Dreiecks mit nur einem Median finden!
Hier ist △DOG, mit nur einem Median, OF, konstruiert, indem der Punkt F genau in der Mitte von DG liegt. Der Median OF ist 36 cm lang.
Da Sie wissen, dass der Schwerpunkt 23 der Strecke entlang OF ist, können Sie 23 von 36 cm, also 24 cm, entlang OF messen, um den Schwerpunkt zu finden.
Nun probieren Sie es aus! Nehmen wir an, Sie wissen, dass der Median DU 18 cm ist; wie weit ist dann der Schwerpunkt?
Wir hoffen, Sie haben 12 cm gesagt, denn 12 cm sind 23 von 18 cm!
Machen und finden Sie einen Schwerpunkt!
Mit einem Stück stabiler Pappe (z. B. Plakatkarton oder Spanplatte), einem Lineal, einem Bleistift und einer Schere kannst du lernen, den Schwerpunkt zu finden und dir selbst zu beweisen, dass es wirklich der Schwerpunkt des Dreiecks ist.
Mit dem Lineal kannst du jede Art von Dreieck aufzeichnen: spitz, rechtwinklig, stumpf. In jedem Dreieck liegt der Schwerpunkt immer im Inneren des Dreiecks!
Messen Sie den Mittelpunkt jeder Seite des Dreiecks und suchen Sie ihn. Markieren Sie die Mittelpunkte deutlich. Verbinden Sie die drei Mittelpunkte mit ihren gegenüberliegenden Scheitelpunkten. Diese Linien sind die Mittelpunkte.
Wo sich die Mittelpunkte schneiden, ist der Schwerpunkt. Schneiden Sie das Dreieck vorsichtig aus. Halten Sie es über Ihren Zeigefinger, so dass der Schwerpunkt auf der Fingerspitze liegt. Lassen Sie es mit der anderen Hand los. Das Dreieck sollte perfekt ausbalanciert sein!
Künstlerische Schwerpunkte
Zentroide sind Gleichgewichtspunkte für Dreiecke und damit wichtige Punkte für Künstler, die Mobiles oder bewegliche Skulpturen bauen. Sie können ein solches Mobile selbst herstellen, indem Sie Draht, Schnur oder Angelschnur und Dreiecke in verschiedenen Größen verwenden, die Sie aus steifem Plastik, Pappe oder dünnem Holz schneiden.
Malen Sie jedes Dreieck in einer hellen Farbe an (Primär- und Sekundärfarben sehen gut zusammen aus) und binden Sie dann jedes Dreieck an seinem Schwerpunkt an einen Draht. Der Draht kann an einem anderen Draht aufgehängt werden, und so weiter, bis Sie ein ausbalanciertes Mobile haben. Jedes Dreieck wird völlig flach durch die Luft gleiten, da der Schwerpunkt sein Gleichgewichtspunkt ist.
Der Bildhauer Alexander Calder ist berühmt für seine farbenfrohen Mobiles, bei denen er oft Teile verwendet, die Dreiecksformen sehr nahe kommen.
Flugzeugschwerpunkte
Flugzeuge müssen perfekt um ihren Schwerpunkt herum ausbalanciert sein, damit der Pilot die Kontrolle behält. Viele Faktoren beeinflussen die Fähigkeit des Piloten, die Bewegung des Flugzeugs in drei verschiedenen Achsen zu kontrollieren, aber wenn das Flugzeug nicht so konstruiert ist, dass es um seinen Schwerpunkt herum ausbalanciert ist, wird keine noch so gute Kontrolle des Piloten ausreichen, um das Flugzeug korrekt fliegen zu lassen.
Der Schwerpunkt eines Flugzeugs gilt unabhängig davon, ob Sie ein Modellflugzeug, ein funkgesteuertes Flugzeug oder einen echten Militär- oder Passagierjet bauen. Sie können viel mehr über den Schwerpunkt einer unregelmäßigen Form, den Schwerpunkt von Flugzeugen und die Mathematik zum Finden des Schwerpunkts lernen, mit einem NASA-Video, das online verfügbar ist.
Zusammenfassung der Lektion
Nachdem Sie alle Aspekte dieser Lektion erforscht haben, sind Sie in der Lage, sich an die Definition des Schwerpunkts eines Dreiecks zu erinnern, sich an die Definition von Medianen von Dreiecken zu erinnern und diese zu erkennen, und zu erklären, wie man einen Schwerpunkt eines Dreiecks findet. Außerdem können Sie den Schwerpunkt mit dem Schwerpunkt in Beziehung setzen und die Länge von Medianen unter Verwendung des Schwerpunkts eines Dreiecks berechnen sowie den Schwerpunkt unter Verwendung von nur einem Median finden.
Nächste Lektion:
Wie man den Orthozentrum eines Dreiecks findet