Centroide de un triángulo (cómo encontrarlo, definición, fórmula, & Ejemplos)
VídeoDefiniciónMedianaCómo hallarLongitudes de la medianaLocalización del centroide
Los centroides pueden parecer grandes rocas del espacio exterior, pero en realidad son características importantes de los triángulos. También tienen aplicaciones en aeronáutica, ya que se relacionan con el centro de gravedad (CG) de las formas.
Lo que aprenderás:
Después de trabajar con esta lección y el vídeo, serás capaz de:
- Recordar la definición de centroide de un triángulo y de medianas de triángulos
- Explicar cómo encontrar un centroide de un triángulo
- Relacionar el centroide con el centro de gravedad
- Calcular la longitud de las medianas utilizando el centroide de un triángulo
- Marcar la ubicación de un centroide usando sólo una mediana
Centroide de un triángulo
Todo triángulo tiene un único punto en algún lugar cerca de su «centro» que permite que el triángulo se equilibre perfectamente, si el triángulo está hecho de un material rígido. El centroide de un triángulo es ese punto de equilibrio, creado por la intersección de las tres medianas.
Si el triángulo estuviera cortado de algún material uniformemente denso, como cartón resistente, chapa metálica o madera contrachapada, el centroide sería el punto en el que el triángulo se equilibraría sobre la punta de tu dedo.
Mediana de un triángulo
La mediana de un triángulo es el segmento de línea creado al unir un vértice con el punto medio del lado opuesto, así:
Como todo triángulo tiene tres lados y tres ángulos, tiene tres medianas:
Cómo encontrar el centroide
Para encontrar el centroide de cualquier triángulo, construye segmentos de línea desde los vértices de los ángulos interiores del triángulo hasta los puntos medios de sus lados opuestos. Estos segmentos de línea son las medianas. Su intersección es el centroide.
El centroide tiene una propiedad interesante además de ser un punto de equilibrio para el triángulo. Siempre está a 23 del vértice a lo largo de la mediana, lo que significa que también está a 13 del punto medio del lado. Esto es cierto para todos los triángulos.
Otra forma de pensar en esta ruptura de la mediana es notar que es una proporción de 2:1, siendo el 2 siempre la parte del ángulo interior al centroide, y el 1 siempre la distancia del centroide al punto medio de un lado.
Calculando las longitudes de la mediana
Aquí está el △CAT con las medianas AW, TM y CE. Sabemos que el centroide, el punto O, está en este lugar exacto:
- 23 de la distancia a lo largo de cada mediana desde los ángulos interiores C, A y T
- 13 de la distancia a lo largo de la mediana desde el punto medio de los lados CA, AT y CT
Si sabemos que el centroide está a 6 cm del ángulo interior C, ¿cuál es la longitud de la mediana CE?
Si sabemos que el centroide O está a 23 del camino a lo largo de la mediana AW, y está a 7,5 cm del ángulo interior A, ¿cuánto mide la mediana AW?
Piensa: 7,5 es 23 de qué número?
¿Has dicho 11,25 cm? Esperamos que sí, ¡porque es la respuesta correcta!
Encontrar la ubicación del centroide
Ahora que sabes que el centroide debe estar a 23 de la distancia de la mediana de un ángulo interior, puedes encontrar el centroide de cualquier triángulo usando sólo una mediana!
Aquí está △DOG, con sólo una mediana, OF, construida ubicando el punto F exactamente a la mitad de DG. La mediana OF mide 36 cm.
Como sabes que el centroide está a 23 de la distancia a lo largo de OF, puedes medir 23 de 36 cm, o 24 cm, a lo largo de OF para encontrar el centroide.
¡Ahora pruébalo! ¡Supongamos que sabes que la mediana de DU es de 18 cm; ¿a qué distancia estará el centroide?
Esperamos que hayas dicho 12 cm, porque 12 cm es 23 de 18 cm!
¡Haz y encuentra un centroide!
Puedes aprender a encontrar el centroide, y demostrarte a ti mismo que realmente es el centro de gravedad (CG) del triángulo, utilizando un trozo de cartón resistente (como cartulina o aglomerado), una regla, un lápiz y unas tijeras.
Usa la regla para dibujar cualquier tipo de triángulo que quieras: agudo, recto, obtuso. En todos los triángulos, el centroide está siempre dentro del triángulo
Mide y localiza el punto medio de cada lado del triángulo. Marca claramente el punto medio. Une los tres puntos medios con sus vértices opuestos. Esas líneas son las medianas.
El lugar donde se cruzan las medianas es el centroide. Recorta el triángulo con cuidado. Sujétalo sobre el dedo índice, de modo que el centroide quede en la punta del dedo. Suéltalo con la otra mano. El triángulo debería estar en perfecto equilibrio
Centroides artísticos
Los centroides proporcionan puntos de equilibrio para los triángulos, por lo que son puntos importantes para los artistas que construyen móviles, o esculturas en movimiento. Puedes hacer un móvil de este tipo tú mismo, utilizando alambre, cuerda o hilo de pescar, y varios tamaños de triángulos cortados de plástico rígido, cartón o madera fina.
Pinta cada triángulo de un color brillante (los colores primarios y secundarios quedan muy bien juntos), y luego ata cada triángulo por su centroide a un alambre. El cable puede ser suspendido de otro cable, y así sucesivamente, hasta que tengas un móvil equilibrado. Cada triángulo se deslizará por el aire completamente plano, ya que el centroide es su punto de equilibrio.
El escultor Alexander Calder es famoso por sus móviles de colores brillantes, a menudo utilizando piezas que se acercan mucho a las formas triangulares.
Centroides aeronáuticos
Los aviones tienen que estar perfectamente equilibrados alrededor de su centroide, o centro de gravedad (CG) para que el piloto mantenga el control. Muchos factores influyen en la capacidad del piloto para controlar el movimiento del avión en tres ejes diferentes, pero si el avión no está diseñado para equilibrarse alrededor de su CG o centroide, ninguna cantidad de control del piloto será suficiente para mantener el avión volando correctamente.
El CG de un avión se aplica tanto si está construyendo un modelo de avión, un avión de radiocontrol, o un avión militar o de pasajeros real. Puedes aprender mucho más sobre el centroide de una forma irregular, el CG de los aviones y las matemáticas para encontrar el CG, con un vídeo de la NASA disponible en línea.
Resumen de la lección
Ahora que has explorado todos los aspectos de esta lección, eres capaz de recordar la definición de centroide de un triángulo, recordar la definición y reconocer las medianas de los triángulos y explicar cómo encontrar el centroide de un triángulo. También podrás relacionar el centroide con el centro de gravedad, y calcular la longitud de las medianas utilizando el centroide de un triángulo, y encontrar el centroide utilizando sólo una mediana.
Siguiente lección:
Cómo encontrar el ortocentro de un triángulo