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Carga crítica de Euler

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Columna con extremos articulados

El siguiente modelo se aplica a columnas simplemente apoyadas en cada extremo ( K = 1 {\displaystyle K=1}

K=1

).

En primer lugar, pondremos atención en el hecho de que no hay reacciones en los extremos articulados, por lo que tampoco tenemos fuerza cortante en ninguna sección transversal de la columna. La razón de que no haya reacciones se puede obtener a partir de la simetría (por lo que las reacciones deben ser en la misma dirección) y del equilibrio de momentos (por lo que las reacciones deben ser en direcciones opuestas).

Utilizando el diagrama de cuerpo libre de la parte derecha de la figura 3, y haciendo una suma de momentos en torno al punto x:

Σ M = 0 ⇒ M ( x ) + P w = 0 {\displaystyle \Sigma M=0\Rightarrow M(x)+Pw=0}

{{displaystyle \Sigma M=0\Rightarrow M(x)+Pw=0}

donde w es la desviación lateral.

Según la teoría de vigas de Euler-Bernoulli, la deflexión de una viga está relacionada con su momento flector por:

M = – E I d 2 w d x 2 {\displaystyle M=-EI{\frac {\mathrm {d} ^{2}w} {\mathrm {d} x^{2}}}}

{displaystyle M=-EI{frac {\mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} x^{2}}}}

,

Fig. 3: Columna con extremo de perno bajo el efecto de la carga de pandeo

Así que:

E I d 2 w d x 2 + P w = 0 {\displaystyle EI{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}+Pw=0}

{{displaystyle EI{{frac {d^{2}w}{dx^{2}}+Pw=0}

Dejemos que λ 2 = P E I {{displaystyle \lambda ^{2}={frac {P}{EI}}

{displaystyle ^{2}={\frac {P}{EI}}

, por lo que: d 2 w d x 2 + λ 2 w = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dx^{2}}+\lambda ^{2}w=0}

{displaystyle {\frac {d^{2}w}{dx^{2}}+\lambda ^{2}w=0}

Obtenemos una ecuación diferencial ordinaria clásica homogénea de segundo orden.

La solución general de esta ecuación es: w ( x ) = A cos ( λ x ) + B sin ( λ x ) {\displaystyle w(x)=A\cos(\lambda x)+B\sin(\lambda x)}

{{displaystyle w(x)=Acos(\lambda x)+B\sin(\lambda x)}

, donde A {\displaystyle A}

A

y B {\displaystyle B}

B

son constantes a determinar por las condiciones de contorno, que son:

  • Extremo izquierdo clavado → w ( 0 ) = 0 → A = 0 {\displaystyle \rightarrow w(0)=0\rightarrow A=0}.
    {\displaystyle \rightarrow w(0)=0\rightarrow A=0}
  • Final derecho fijado → w ( l ) = 0 → B sin ( λ l ) = 0 {\displaystyle \rightarrow w(l)=0rightarrow B\sin(\lambda l)=0}
    {{displaystyle \rightarrow w(l)=0\rightarrow B\sin(\lambda l)=0}

Fig. 4: Tres primeros modos de cargas de pandeo

Si B = 0 {\displaystyle B=0}

B = 0

, no existe momento flector y obtenemos la solución trivial de w ( x ) = 0 {\displaystyle w(x)=0}

{displaystyle w(x)=0}

.

Sin embargo, a partir de la otra solución sin ( λ l ) = 0 {\displaystyle \sin(\lambda l)=0}

{\displaystyle \sin(\lambda l)=0}

obtenemos λ n l = n π {\displaystyle \lambda _{n}l=n\pi }

{displaystyle \lambda _{n}l=n\pi }

, para n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle n=0,1,2,\ldots }

{\displaystyle n=0,1,2,\ldots }

Junto con λ 2 = P E I {\displaystyle \lambda ^{2}={frac {P}{EI}}

{displaystyle ^{2}={\frac {P}{EI}}

como se ha definido antes, las distintas cargas críticas son: P n = n 2 π 2 E I l 2 {\displaystyle P_{n}={frac {n^{2}\pi ^{2}EI}{l^{2}}}}

{{displaystyle P_{n}={frac {n^{2}\pi ^{2}EI}{l^{2}}}}

, para n = 0 , 1 , 2 , … {{displaystyle n=0,1,2,\ldots }

{displaystyle n=0,1,2,\ldots }

y dependiendo del valor de n {\displaystyle n}

{displaystyle n}
, se producen diferentes modos de pandeo como se muestra en la figura 4. La carga y el modo para n=0 es el modo no pandeado.

Teóricamente, cualquier modo de pandeo es posible, pero en el caso de una carga aplicada lentamente sólo es probable que se produzca la primera forma modal.

La carga crítica de Euler para un pilar terminado en perno es, por tanto:

P c r = π 2 E I l 2 {\displaystyle P_{cr}={frac {\pi ^{2}EI}{l^{2}}}}

{{displaystyle P_{cr}={\frac {\pi ^{2}EI}{l^{2}}}}

y la forma obtenida del pilar pandeado en el primer modo es:

W ( x ) = B sin ( π l x ) {\displaystyle w(x)=B\sin \left({\pi \over l}xright)}

{desde el estilo de visualización w(x)=B\sin \ izquierda({\pi \sobre l}x\ derecha)}

.

Planteamiento generalEditar

Fig. 5: fuerzas y momentos que actúan sobre una columna.

La ecuación diferencial del eje de una viga es:

d 4 w d x 4 + P E I d 2 w d x 2 = q E I {\displaystyle {\frac {d^{4}w}{dx^{4}}+{\frac {P}{EI}{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}={\frac {q}{EI}}

{displaystyle {\frac {d^{4}w}{dx^{4}}+{\frac {P}{EI}}{{frac {d^{2}w}{dx^{2}}={frac {q}{EI}}

Para un pilar con carga axial solamente, la carga lateral q ( x ) {\displaystyle q(x)}

q(x)

desaparece y sustituyendo λ 2 = P E I {\displaystyle \lambda ^{2}={frac {P}{EI}}

{displaystyle ^{2}={frac {P}{EI}}

, obtenemos: d 4 w d x 4 + λ 2 d 2 w d x 2 = 0 {\displaystyle {\frac {d^{4}w}{dx^{4}}+\lambda ^{2}{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}=0}

{displaystyle {\frac {d^{4}w}{dx^{4}}+{lambda ^{2}{frac {d^{2}w}{dx^{2}}=0}

Esta es una ecuación diferencial homogénea de cuartode cuarto orden y su solución general es

w ( x ) = A sin ( λ x ) + B cos ( λ x ) + C x + D {\displaystyle w(x)=A\sin(\lambda x)+B\cos(\lambda x)+Cx+D}

{\displaystyle w(x)=A\sin(\lambda x)+B\cos(\lambda x)+Cx+D}

Las cuatro constantes A , B , C , D {\displaystyle A,B,C,D}

A,B,C,D

están determinadas por las condiciones de contorno (restricciones finales) sobre w ( x ) {\displaystyle w(x)}

w(x)

, en cada extremo. Hay tres casos:

  1. Fin de carrera: w = 0 {\displaystyle w=0}.
    w = 0

    y M = 0 → d 2 w d x 2 = 0 {\displaystyle M=0\rightarrow {d^{2}w \over dx^{2}}=0}

    {displaystyle M=0\rightarrow {d^{2}w \over dx^{2}}=0}
  2. Final fijo: w = 0 {\displaystyle w=0}
    w = 0

    y d w d x = 0 {\displaystyle {dw \over dx}=0}

    {displaystyle {dw \over dx}=0}
  3. Final libre: M = 0 → d 2 w d x 2 = 0 {\displaystyle M=0\rightarrow {d^{2}w \over dx^{2}}=0}
    {displaystyle M=0\rightarrow {d^{2}w \over dx^{2}}=0}

    y V = 0 → d d x 3 + λ 3 w d x 3 + λ 2 d w d x = 0 {\displaystyle V=0\rightarrow {d^{3}w \over dx^{3}}+\lambda ^{2}{dw \over dx}=0}

    {displaystyle V=0\rightarrow {d^{3}w \over dx^{3}}+\lambda ^{2}{dw \over dx}=0}

Para cada combinación de estas condiciones de contorno, se obtiene un problema de valores propios. Resolviendo los mismos, se obtienen los valores de la carga crítica de Euler para cada uno de los casos presentados en la figura 1.

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