Este tenedor de sintonía C5 vibrará a su frecuencia natural amortiguada
Los que están familiarizados con los osciladores es más probable que piensen en términos de un oscilador armónico simple, como un péndulo o una masa sobre un muelle. Estos sistemas son conceptualmente simples, pero sus modelos matemáticos no dan cuenta de las propiedades realistas de estos sistemas. Cualquier oscilador tiene algunos parámetros físicos importantes, y la respuesta del sistema cuando es accionado no coincidirá con la respuesta observada cuando se le permite oscilar libremente.
En la electrónica, diferentes circuitos funcionarán como osciladores, donde el voltaje y la corriente exhiben una respuesta periódica en el tiempo. Al igual que los osciladores mecánicos, los circuitos osciladores pueden exhibir resonancia bajo las condiciones adecuadas. Las cosas se vuelven matemáticamente confusas para algunos diseñadores, ya que la respuesta real de un oscilador se define en términos de tres frecuencias diferentes. Vamos a aclarar la diferencia entre la frecuencia de resonancia frente a la frecuencia natural en circuitos osciladores puramente lineales.
Frecuencia de oscilación amortiguada frente a la frecuencia natural en osciladores no accionados
Aunque podemos cuantificar una frecuencia natural en osciladores armónicos mecánicos y eléctricos, el sistema nunca oscila realmente a la frecuencia natural. Esto se debe a que, en un modelo ideal para un oscilador, nos gusta ignorar el efecto del amortiguamiento para poder entender algunos aspectos básicos del sistema. En un oscilador mecánico, esto significa que ignoramos brevemente la fricción o cualquier otro mecanismo que disipe la energía cinética. En un circuito, esto significa que omitimos los elementos del circuito que disipan energía en forma de calor, es decir, el circuito sólo contiene elementos capacitivos e inductivos.
Cuando un oscilador no accionado y no amortiguado se desplaza del equilibrio, el sistema oscilará a su frecuencia natural. Sin embargo, los circuitos osciladores reales siempre contienen algo de amortiguación; en un circuito LC, los conductores tienen alguna pequeña cantidad de resistencia, que proporciona amortiguación en el circuito. Esto también es cierto en los osciladores mecánicos; siempre hay alguna fuente de amortiguación que convierte la energía cinética en calor, razón por la cual un péndulo que se balancea eventualmente disminuye su velocidad hasta detenerse.
El efecto de la amortiguación conduce a dos fenómenos en los osciladores no accionados a los que se les permite oscilar naturalmente cuando se desplazan del equilibrio:
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La oscilación decae con el tiempo. La amortiguación en un circuito oscilador se produce porque parte de la energía eléctrica (es decir, la energía cinética de las cargas que fluyen) se pierde en forma de calor. Esto hace que la amplitud de la oscilación decaiga con el tiempo.
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La frecuencia de la oscilación amortiguada no es igual a la frecuencia natural. La amortiguación hace que la frecuencia de la oscilación amortiguada sea ligeramente inferior a la frecuencia natural. La frecuencia de oscilación amortiguada se define en la ecuación siguiente:
La frecuencia de oscilación de un oscilador amortiguado,
Al final, cuando la tasa de amortiguación es igual a la frecuencia natural, no hay oscilación transitoria, lo que significa que el voltaje y la corriente en el circuito simplemente decaen hasta el equilibrio; Esto se conoce como amortiguamiento crítico. A medida que la tasa de amortiguación sigue aumentando por encima de la frecuencia natural, el tiempo necesario para que la tensión y la corriente vuelvan al equilibrio se hace más largo.
Si se realiza un análisis transitorio de un circuito oscilador y se mide la frecuencia de oscilación, no se está midiendo la frecuencia natural. En realidad está midiendo la frecuencia de oscilación amortiguada definida en la ecuación anterior. A continuación, puede extraer la tasa de amortiguación trazando el logaritmo natural de los datos de decaimiento (que se muestran utilizando puntos rojos en el gráfico siguiente) en la forma de onda de respuesta con el tiempo; el negativo de la pendiente de esta línea es igual a la tasa de amortiguación.
La frecuencia de oscilación de un oscilador amortiguado,
En el gráfico anterior, los máximos sucesivos están marcados con puntos rojos, y el logaritmo de estos datos de la corriente eléctrica están trazados en el gráfico de la derecha. A partir de la línea de regresión, vemos que la tasa de amortiguación en este circuito es de 0,76 por segundo. La tasa de oscilación amortiguada se puede determinar entre dos máximos consecutivos en el gráfico de la izquierda y tiene un valor de 3,929 rad por seg. Una vez conocida la tasa de amortiguación y la frecuencia de oscilación amortiguada, se puede calcular fácilmente la frecuencia natural utilizando la ecuación anterior. En esta simulación, la frecuencia natural es de 4 rad por segundo. También puede ver en la curva de decaimiento exponencial que la corriente inicial era de 1 A.
Frecuencia de resonancia frente a la frecuencia natural en osciladores conducidos
Cuando un circuito oscilador es conducido con una señal periódica, la corriente y el voltaje oscilarán a la misma tasa de repetición que la señal de conducción. Sin embargo, las formas de onda no coincidirán perfectamente porque la función de transferencia de un circuito oscilador distorsionará estas señales; en otras palabras, el circuito oscilador también actúa como un filtro/amplificador (más sobre esto a continuación). Para ver cómo pueden comportarse los diferentes circuitos osciladores, es útil considerar un oscilador mecánico que sólo se acciona con una señal sinusoidal.
La resonancia es un fenómeno que resulta cuando un oscilador se acciona con una señal periódica con una frecuencia específica, conocida como la frecuencia de resonancia. En un oscilador accionado sin amortiguación, la frecuencia de resonancia es igual a la frecuencia natural. Este es siempre el caso de los osciladores no amortiguados, pero no siempre es el caso de los osciladores amortiguados. Los osciladores impulsados reales tienen amortiguación, y la frecuencia de resonancia no siempre es igual a la frecuencia natural. Para un oscilador mecánico amortiguado típico, la frecuencia de resonancia se define en la siguiente ecuación:
Frecuencia resonante frente a la frecuencia natural de un oscilador mecánico amortiguado accionado
Nótese que la resonancia sólo puede producirse cuando la frecuencia natural es mayor que la tasa de amortiguamiento, multiplicada por la raíz cuadrada de 2. Si el amortiguamiento es demasiado grande, entonces no puede producirse la resonancia.
¿Qué ocurre en el caso de un amortiguamiento pequeño? En el límite en el que la constante de amortiguación es cero, la frecuencia de resonancia es igual a la frecuencia natural y no hay disipación de energía en el circuito. Como resultado, cuando un oscilador no amortiguado es conducido exactamente a su frecuencia natural, la amplitud de la oscilación resultante divergerá (teóricamente) hasta el infinito a un ritmo lineal. En un circuito real, los efectos no lineales acabarán por imponerse a una tensión/corriente elevada, lo que puede hacer que la respuesta se sature o que el circuito se queme.
Hay un cierto rango de frecuencias entre las cuales el oscilador mecánico no mostrará resonancia cuando se le accione, pero seguirá mostrando una oscilación decreciente cuando se le desplace del equilibrio. Esta oscilación decreciente seguirá ocurriendo con la frecuencia de oscilación amortiguada definida en la primera ecuación anterior. Volviendo a un oscilador mecánico, tenemos:
Caso en el que se elimina la resonancia, pero aún puede haber una oscilación amortiguada
Nota que las condiciones anteriores que comentamos para un oscilador mecánico también se aplican a un circuito RL con un condensador en paralelo.
Funciones de transferencia del oscilador
La amortiguación en un circuito definirá la función de transferencia del mismo, que suele describirse en términos de su ancho de banda. Cuando el oscilador se acciona con una señal sinusoidal, la salida también será sinusoidal. Sin embargo, cuando el oscilador se acciona con una señal periódica no sinusoidal (por ejemplo, una onda de diente de sierra, una señal de frecuencia modulada, un flujo de pulsos de reloj u otra forma de onda analógica repetitiva), las formas de onda de tensión y corriente resultantes en el oscilador pueden no parecerse a la señal de accionamiento. Puede extraer la función de transferencia de un barrido de frecuencia aplicando una fuente sinusoidal a su circuito oscilador. Los ejemplos que muestran estas funciones de transferencia en el dominio de la frecuencia para diferentes tasas de amortiguación para un oscilador mecánico se muestran a continuación.
Curvas de amplitud para un oscilador mecánico en función de la frecuencia de conducción
Nótese que estas curvas están normalizadas con respecto a la frecuencia natural. De nuevo, ciertos circuitos RLC tendrán curvas similares, mientras que otros (por ejemplo, el circuito RLC en serie) tendrán curvas que siempre alcanzan un pico en la frecuencia natural, es decir, frecuencia de resonancia = frecuencia natural.
Los gráficos anteriores para un oscilador mecánico muestran cómo el pico de cada curva (que corresponde a la frecuencia de resonancia) se mueve hacia la frecuencia natural a medida que la tasa de amortiguación disminuye. Cada una de estas curvas puede considerarse como una función de transferencia. Determinar cómo afecta cada una de estas curvas a una señal de conducción analógica arbitraria en el dominio del tiempo requiere trabajar con transformadas de Fourier o transformadas de Laplace, lo que está un poco más allá del alcance de este artículo.
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