Ensayo de Bernoulli

Los ensayos repetidos independientes de un experimento con exactamente dos resultados posibles se llaman ensayos de Bernoulli. Llamemos a uno de los resultados «éxito» y al otro resultado «fracaso». Sea p {\displaystyle p}

es la probabilidad de éxito en un ensayo Bernoulli, y q {\displaystyle q}

sea la probabilidad de fracaso. Entonces la probabilidad de éxito y la probabilidad de fracaso suman uno, ya que son sucesos complementarios: «éxito» y «fracaso» son mutuamente excluyentes y exhaustivos. Así se tienen las siguientes relaciones: p = 1 – q , q = 1 – p , p + q = 1. {\displaystyle p=1-q,\quad \quad q=1-p,\quad \quad p+q=1.}

Alternativamente, se pueden plantear en términos de probabilidades: dada la probabilidad p de éxito y q de fracaso, las probabilidades para son p : q {\displaystyle p:q}

y las probabilidades en contra son q : p . {\displaystyle q:p.}

También se pueden expresar en forma de números, dividiendo, dando como resultado las probabilidades a favor, de {\displaystyle o_{f}}

, y las probabilidades en contra, o a : {\displaystyle o_{a}:}

, o f = p / q = p / ( 1 – p ) = ( 1 – q ) / q o a = q / p = ( 1 – p ) / p = q / ( 1 – q ) {\begin{aligned}o_{f}&=p/q=p/(1-p)=(1-q)/q\\o_{a}&=q/p=(1-p)/p=q/(1-q)\end{aligned}}}

Son inversos multiplicativos, por lo que se multiplican a 1, con las siguientes relaciones:

o f = 1 / o a , o a = 1 / o f , o f ⋅ o a = 1. {\displaystyle o_{f}=1/o_{a},\quad o_{a}=1/o_{f},\quad o_{f}cdot o_{a}=1.}

En el caso de que un ensayo Bernoulli esté representando un suceso de entre un número finito de resultados igualmente probables, donde S de los resultados son éxitos y F de los resultados son fracasos, las probabilidades para son S : F {\displaystyle S:F}

y las probabilidades en contra son F : S . {\displaystyle F:S.}

Esto da lugar a las siguientes fórmulas para la probabilidad y las probabilidades: p = S / ( S + F ) q = F / ( S + F ) o f = S / F o a = F / S {\displaystyle {\begin{aligned}p&=S/(S+F)\q&=F/(S+F)\\o_{f}&=S/F\\o_{a}&=F/S\end{aligned}}}

Nota que aquí las probabilidades se calculan dividiendo el número de resultados, no las probabilidades, pero la proporción es la misma, ya que estos cocientes sólo difieren al multiplicar ambos términos por el mismo factor constante.

Las variables aleatorias que describen los ensayos de Bernoulli suelen codificarse utilizando la convención de que 1 = «éxito», 0 = «fracaso».

Ampliamente relacionado con un ensayo de Bernoulli es un experimento binomial, que consiste en un número fijo n {{displaystyle n}}.

de ensayos Bernoulli estadísticamente independientes, cada uno con una probabilidad de éxito p {displaystyle p}

, y cuenta el número de éxitos. Una variable aleatoria correspondiente a una binomial se denota por B ( n , p ) {\displaystyle B(n,p)}

, y se dice que tiene una distribución binomial.La probabilidad de exactamente k {\displaystyle k}

éxitos en el experimento B ( n , p ) {\displaystyle B(n,p)}

está dado por: P ( k ) = ( n k ) p k q n – k {\displaystyle P(k)={n \_elegir k}p^{k}q^{n-k}}

donde ( n k ) {\displaystyle {n \Nelegir k}}