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- Las leyes del movimiento planetario de Kepler
Primera Ley
Kepler era un matemático sofisticado, por lo que el avance que hizo en el estudio del movimiento de los planetas fue introducir una base matemática para el modelo heliocéntrico del sistema solar. Mientras que Ptolomeo y Copérnico se basaban en suposiciones, como que el círculo es una forma «perfecta» y que todas las órbitas deben ser circulares, Kepler demostró que matemáticamente una órbita circular no podía coincidir con los datos de Marte, ¡pero que una órbita elíptica sí coincidía con los datos! Ahora nos referimos a la siguiente afirmación como la Primera Ley de Kepler:
- Los planetas orbitan alrededor del Sol en elipses con el Sol en un foco (el otro foco está vacío).
Para más información sobre las elipses, puedes leer con sangriento detalle matemático la página alojada en Mathworld, y también hay información sobre elipses en Wikipedia.
Aquí tienes una demostración del método clásico para dibujar una elipse:
Las dos chinchetas de la imagen representan los dos focos de la elipse, y la cuerda asegura que la suma de las distancias de los dos focos (las chinchetas) al lápiz es una constante. A continuación se muestra otra imagen de una elipse con el eje mayor y el eje menor definidos:
En la imagen anterior, los puntos verdes son los focos (equivalentes a las tachuelas de la foto de arriba). Cuanto mayor sea la distancia entre los focos, mayor será la excentricidad de la elipse. En el caso límite en el que los focos están uno encima del otro (una excentricidad de 0), la figura es en realidad un círculo. Por lo tanto, se puede pensar en un círculo como una elipse de excentricidad 0. Los estudios han demostrado que los libros de texto de astronomía introducen un concepto erróneo al mostrar las órbitas de los planetas como altamente excéntricas en un esfuerzo por asegurarse de que son elipses y no círculos. En realidad, las órbitas de la mayoría de los planetas de nuestro Sistema Solar son casi circulares, con excentricidades cercanas a 0 (por ejemplo, la excentricidad de la órbita de la Tierra es de 0,0167). Para ver una animación que muestra órbitas con distintas excentricidades, consulte el diagrama de excentricidad en «Windows to the Universe». Observe que la órbita con una excentricidad de 0,2, que parece casi circular, es similar a la de Mercurio, que tiene la mayor excentricidad de todos los planetas del Sistema Solar. El diagrama de órbitas elípticas en «Windows to the Universe» incluye una imagen con una comparación directa de las excentricidades de varios planetas, un asteroide y un cometa. Tenga en cuenta que si sigue las instrucciones de la Noche estrellada de la página anterior para observar las órbitas de la Tierra y Marte desde arriba, también podrá ver las formas de estas órbitas y lo circulares que parecen.
La primera ley de Kepler tiene varias implicaciones. Estas son:
- La distancia entre un planeta y el Sol cambia a medida que el planeta se mueve a lo largo de su órbita.
- El Sol está desplazado del centro de la órbita del planeta.
- La línea que une el Sol y un planeta barre áreas iguales en una cantidad de tiempo igual.
- Un planeta se mueve más rápido cerca del perihelio y más lento cerca del afelio.
- El cuadrado del periodo de la órbita de un planeta (P) es directamente proporcional al cubo del semieje mayor (a) de su trayectoria elíptica.
- P 2 ∝ a 3 Esta ecuación no se está representando correctamente debido a un navegador incompatible. Consulte los requisitos técnicos en la orientación para obtener una lista de navegadores compatibles.
- P 2 = k a 3 Esta ecuación no se renderiza correctamente debido a un navegador incompatible. Consulte los requisitos técnicos en la orientación para obtener una lista de navegadores compatibles.
- P 2 / a 3 = k Esta ecuación no se está mostrando correctamente debido a un navegador incompatible. Consulte los requisitos técnicos en la orientación para obtener una lista de navegadores compatibles.
- ( P 2 / a 3 ) Tierra = ( P 2 / a 3 ) Marte = ( P 2 / a 3 ) Júpiter Esta ecuación no se está renderizando correctamente debido a un navegador incompatible. Consulte los requisitos técnicos en la orientación para obtener una lista de navegadores compatibles.
- ( P 2 / a 3 ) Tierra = ( P 2 / a 3 ) Marte = ( P 2 / a 3 ) Júpiter Esta ecuación no se está renderizando correctamente debido a un navegador incompatible. Consulte los requisitos técnicos en la orientación para obtener una lista de navegadores compatibles.
- ( P 2 / a 3 ) Saturno = ( 29 años ) 2 / ( a AU ) 3 = 1 Esta ecuación no se está renderizando correctamente debido a un navegador incompatible. Consulte los requisitos técnicos en la orientación para obtener una lista de navegadores compatibles.
- ( a AU ) 3 = 841 Esta ecuación no se está renderizando correctamente debido a un navegador incompatible. Consulte los requisitos técnicos en la Orientación para obtener una lista de navegadores compatibles.
- (a AU) = 3 √ 841 = 9,4 AU Esta ecuación no se está renderizando correctamente debido a un navegador incompatible. Consulte los requisitos técnicos en la orientación para obtener una lista de navegadores compatibles.
Segunda ley
En sus modelos del Sistema Solar, los griegos se aferraban a la creencia aristotélica de que los objetos en el cielo se movían a una velocidad constante en círculos porque ese es su «movimiento natural.» Sin embargo, la segunda ley de Kepler (a veces denominada Ley de las Áreas Iguales), puede utilizarse para demostrar que la velocidad de un planeta cambia a medida que se mueve a lo largo de su órbita!
La segunda ley de Kepler es:
La imagen de abajo enlaza con una animación que demuestra que cuando un planeta está cerca del afelio (el punto más alejado del Sol, etiquetado con una B en la captura de pantalla de abajo) la línea trazada entre el Sol y el planeta traza un sector largo y delgado entre los puntos A y B. Cuando el planeta está cerca del perihelio (el punto más cercano al Sol, etiquetado con una C en la captura de pantalla de abajo), la línea dibujada entre el Sol y el planeta traza un sector más corto y gordo entre los puntos C y D. Estos cortes que alternan el gris y el azul se dibujaron de tal manera que el área dentro de cada sector es la misma. Es decir, el sector entre C y D a la derecha contiene la misma cantidad de área que el sector entre A y B a la izquierda.
Segunda ley de Kepler
Las órbitas de la mayoría de los planetas son casi circulares, con excentricidades cercanas a 0. En este caso, los cambios en su velocidad no son demasiado grandes a lo largo de su órbita.
Para los que enseñáis física, podríais notar que, en realidad, la segunda ley de Kepler es sólo otra forma de afirmar que el momento angular se conserva. Es decir, cuando el planeta está cerca del perihelio, la distancia entre el Sol y el planeta es menor, por lo que debe aumentar su velocidad tangencial para conservar el momento angular, y de forma similar, cuando está cerca del afelio, cuando su separación es mayor, su velocidad tangencial debe disminuir para que el momento angular orbital total sea el mismo que tenía en el perihelio.
Tercera ley
Kepler disponía de todos los datos de Tycho sobre los planetas, por lo que pudo determinar cuánto tiempo tardaba cada planeta en completar una órbita alrededor del Sol. A esto se le suele llamar período de una órbita. Kepler observó que cuanto más cerca estaba un planeta del Sol, más rápido orbitaba éste. Fue el primer científico que estudió los planetas desde la perspectiva de que el Sol influía en sus órbitas. Es decir, a diferencia de Ptolomeo y Copérnico, que suponían que el «movimiento natural» de los planetas era moverse a velocidades constantes a lo largo de trayectorias circulares, Kepler creía que el Sol ejercía algún tipo de fuerza sobre los planetas para empujarlos a lo largo de sus órbitas y, por ello, cuanto más cerca estuvieran del Sol, más rápido deberían moverse.
Kepler estudió los periodos de los planetas y su distancia al Sol, y demostró la siguiente relación matemática, que es la Tercera Ley de Kepler:
Lo que esto significa matemáticamente es que si el cuadrado del periodo de un objeto se duplica, entonces el cubo de su semieje mayor también debe duplicarse. El signo de proporcionalidad en la ecuación anterior significa que:
Donde k es un número constante. Si dividimos ambos lados de la ecuación por a 3 Esta ecuación no se está renderizando correctamente debido a un navegador incompatible. Ver Requisitos Técnicos en la Orientación para una lista de navegadores compatibles.
Esto significa que para cada planeta de nuestro sistema solar, la relación entre su periodo al cuadrado y su eje semimayor al cubo es el mismo valor constante, por lo que esto significa que:
Sabemos que el periodo de la Tierra es de 1 año. En la época de Kepler, no se conocían las distancias a los planetas, pero podemos simplemente asignar el semieje mayor de la Tierra a una unidad que llamamos Unidad Astronómica (UA). Es decir, sin saber cuánto mide una UA, simplemente establecemos una Tierra = 1 UA Esta ecuación no se está representando correctamente debido a un navegador incompatible. Consulte los requisitos técnicos en la orientación para obtener una lista de navegadores compatibles. . Si introduces 1 año y 1 UA en la ecuación anterior, verás que:
Así que para cada planeta, P 2 / a 3 = 1 Esta ecuación no se está renderizando correctamente debido a un navegador incompatible. Ver Requisitos Técnicos en la Orientación para una lista de navegadores compatibles. si P se expresa en años y a se expresa en UA. Así que si quieres calcular a qué distancia está Saturno del Sol en UA, todo lo que necesitas saber es su periodo. En el caso de Saturno, éste es de aproximadamente 29 años. Así que:
¡Así que Saturno está 9,4 veces más lejos del Sol que la Tierra!