Operadores diferenciales y semigrupos
18 Sea A un operador para el que la ecuación diferencial u′(t) = A(u(t)) tiene «soluciones» de algún tipo. Más precisamente, supongamos que M es un subconjunto de un espacio de Banach, y que para cada x0 ∈ M existe una solución única u : =exp(-xλ)=-1λg(x)exp(-xλ).
Integra ambos lados -empezando por x = 0, digamos- para obtener
para alguna constante C. Para encontrar el valor de C, toma los límites de ambos lados de esta ecuación a medida que x → ∞. Tenemos f(x) → 0 ya que f desaparece en ∞, y por tanto C=1λ∫0∞g(t)exp(-t/λ)dt. Esta integral converge, ya que g desaparece en el infinito y exp(-t/λ) desaparece exponencialmente rápido. Por tanto, la última ecuación mostrada puede reescribirse
(I – λA)-1 es un operador lineal no expansivo definido en todas partes en C0(ℝ).
Esto es típico del tipo de operador al que es aplicable el Teorema de Crandall-Liggett – pero destacamos que ese teorema se aplica también a operadores mucho más complicados.
Ejercicio Modificando los cálculos anteriores, demuestre que (I + λA)-1 es también un operador lineal no expansivo definido en todas partes en C0(ℝ), para cada λ > 0.
20 Sea X un espacio de Banach, y sea J : X → P(X*) su mapeo de dualidad (definido como en 28.44). Sea A algún mapeo desde un subconjunto de X hacia X. Entonces las dos condiciones siguientes son equivalentes; si se satisface cualquiera de ellas (y por tanto ambas), decimos que A es disipativo (o -A es acretivo):
Prueba (siguiendo a Cioranescu ). Sea y1 = A(x1) e y2 = A(x2). Sea x^=x1-x2 e y^=y1-y2; entonces hemos de demostrar que
si y sólo si
Para que (B′) ⇒ (A′) simplemente calculamos
De lo cual concluimos tanto
Como η0 está en la bola unitaria, podemos concluir que ‖x^‖≤η0(x^) y ||η0|| = 1. Entonces φ=‖x^‖η0 es un miembro de J(x^), satisfaciendo φ(y^)≤0.
21 Sea X un espacio de Banach, y sea J : X → P(X*) su mapeo de dualidad. Sea A un mapeo desde algún subconjunto de X hacia X, y sea ω un número no negativo. Entonces las tres condiciones siguientes son equivalentes (ejercicio); si se satisfacen decimos que A es Ω-disipativo:
22 Si A es un mapeo Lipschitziano, con 〈A〉Lip ≤ ω, entonces A y -A son ambos ω-disipativos. Por esta razón, las condiciones de disipación se denominan a veces condiciones de Lipschitz unilaterales.
Sin embargo, esa terminología puede ser engañosa. Por ejemplo, defina A como en 30.19. Entonces A y -A son ambas disipativas, pero A no es lipschitziana; de hecho, A ni siquiera es continua.
Si X es unidimensional -es decir, si X es sólo la recta real- entonces A es disipativa si y sólo si (x1 – x2)(A(y1) – A(y2)) ≤ 0; esa desigualdad se satisface si y sólo si A es una función decreciente.
24 Sea C un subconjunto de un espacio de Banach X, y sea S un semigrupo de autoconducciones de C. Supongamos que 〈S(t)〉Lip ≤ eωt para alguna constante ω ≥ 0 y todo t ≥ 0. Definir un mapeo desde un subconjunto de C hacia X por
donde el dominio del operador A es el conjunto de todo x ∈ C para el que existe el límite. Entonces A es ω-disipativo.
Probación Fije cualesquiera x1, x2 ∈ Dom(A) y λ ∈ (0, 1/ω); sea h > 0. Entonces
Tome los límites como h ↓ 0, para probar
Prueba Sea x = R(α)u e y = R(β)υ; por tanto, u = x – αA(x) y υ = y – βA(y). Elija algún φ ∈ J(x – y) tal que φ ≤ ω||x – y||2. Entonces
Divida por ||x – y|| para obtener la desigualdad deseada.
26 Sea α y β números positivos. Sean cj,k números reales no negativos que satisfacen
para todos los enteros no negativos j, k. Entonces cj,k≤(jα-kβ)2+jα2+kβ2 para todos los enteros no negativos j, k.
De forma más general, sea α, β > 0 y ω ≥ 0 con max{ωα, ωβ} < 1. Sean cj,k números reales no negativos que satisfacen
para todos los enteros no negativos j, k. Entonces
para todos los enteros no negativos j, k.
Observaciones Esta desigualdad se utilizará en 30.27. Muestra que cj,k puede ser pequeño incluso con j, k grandes, siempre que α, β y jα – kβ sean pequeños. En una primera lectura, el lector puede desear concentrarse en el caso especial de ω = 0, expuesto en el primer párrafo del lema, ya que ese caso es ligeramente más sencillo en cuanto a la notación y sigue conteniendo la mayor parte de las ideas principales.
Esquema de la prueba En primer lugar, unos cuantos cálculos preliminares. Mostrar que
Además, a partir de ω(α + β)2 – 2(α + β) ≤ 0 ≤ αβω obtenemos
Además, por la desigualdad de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz (2.10),
para cualquier número no negativo p y q.
Ahora, la desigualdad de Rasmussen-Kobayashi (RK) se deduce de (1) cuando j = 0 o k = 0. La desigualdad se demostrará para j y k mayores por doble inducción. En los cálculos que siguen, el paso (Ind) es por la hipótesis de inducción. Calcular
Esto completa el paso de inducción, y por tanto la prueba de (RK).
27 El Teorema de Crandall-Liggett se ve generalmente como un teorema sobre ecuaciones diferenciales en espacios de Banach. El Teorema de Crandall-Liggett no tiene aplicaciones excepto en ese entorno. Sin embargo, gran parte de la demostración puede presentarse en el entorno más sencillo de un espacio métrico completo. Adoptaremos este enfoque porque puede ser conceptualmente más sencillo de entender sin las distracciones de la estructura lineal, y porque proporciona una aplicación interesante de la completitud métrica. Es uno de los pocos casos conocidos por este autor en el que utilizamos mapeos de Lipschitz sin usar el Teorema del Punto Fijo de Contracción.
En el teorema que sigue, permitimos T = +∞ si ω = 0. Los cálculos son ligeramente más sencillos en ese caso, por lo que los principiantes pueden desear concentrarse en ese caso.
y
y supongamos que el conjunto D = {x ∈ M : Γ(x) < ∞} es denso en M.
El mapa (t, x) ↦ S(t)x es conjuntamente continuo de . El libro de Haraux cubre parte de la teoría de los espacios de Banach, pero también dedica especial atención al caso de los espacios de Hilbert.
El Teorema de Crandall-Liggett, tal como lo hemos presentado, se extiende fácilmente a la inclusión diferencial u′(t) ∈ A(u(t)). Si reforzamos la condición de rango, y exigimos que Ran(I – λA) = X para todo λ suficientemente pequeño > 0, entonces es posible demostrar la existencia de soluciones al problema de valor inicial
También se ha escrito mucho sobre inclusiones diferenciales de la forma u′(t) ∈ A(t, u(t)), donde A(t, ⋅) es un operador Ω-disipativo para cada t fijo. Una referencia para este tema es Pavel ; ese libro también introduce muchas aplicaciones a las ecuaciones diferenciales parciales. La teoría de este tema no es tan elegante, pero hay una buena razón. Para obtener la máxima aplicabilidad a las ecuaciones diferenciales parciales, los investigadores se han interesado por problemas en los que los diferentes operadores A(t, ⋅), para diferentes valores fijos de t, tienen diferentes dominios, y en los que Dom(A(t, ⋅)) varía erráticamente con t. Esto hace que el problema sea considerablemente más complicado.
30 En las páginas anteriores hemos desarrollado varias teorías sustancialmente diferentes de los problemas de valor inicial, utilizando hipótesis de condiciones de Lipschitz, compacidad, isotonicidad y disipación. Históricamente, estas teorías se han desarrollado por separado, para diferentes tipos de aplicaciones. Es tentador intentar convertir estas teorías en casos especiales de una única teoría más general. Ciertamente, es posible demostrar al menos algunos resultados débiles en un entorno más general – véase, por ejemplo, 30.6.
Más modesto que la búsqueda de una gran teoría unificada es el programa para resolver problemas de la forma u′(t) = A(u(t)) + B(u(t)), donde A y B son operadores de dos tipos diferentes – por ejemplo, donde A satisface una condición de disipación y B satisface una condición de compacidad. Una teoría de este tipo incluiría las teorías de disipación y compacidad como casos especiales, ya que podríamos tomar A = 0 o B = 0 (ya que el operador 0 es tanto disipativo como compacto). Este programa ha tenido cierto éxito, al menos cuando los operadores son continuos -por ejemplo, se sabe que la suma de un operador disipativo continuo, un operador compacto continuo y un operador isotono continuo genera una evolución; véase Volkmann . Pero sin continuidad el problema sigue abierto. Para el problema compacto más disipativo, se pueden encontrar algunas discusiones y resultados parciales en Schechter y Vrabie .