Derivación de la fórmula exacta
Supongamos que un determinado experimento requiere múltiples instrumentos para su realización. Cada uno de estos instrumentos tiene una variabilidad diferente en sus mediciones. Los resultados de cada instrumento se dan como: a, b, c, d… (Para simplificar, sólo se utilizarán las variables a, b y c a lo largo de esta derivación). El resultado final deseado es \(x\), por lo que \(x\) depende de a, b y c. Se puede escribir que \(x\) es una función de estas variables:
Debido a que cada medida tiene una incertidumbre sobre su media, se puede escribir que la incertidumbre de dxi de la iésima medida de \(x\) depende de la incertidumbre de las iésimas medidas de a, b, y c:
La desviación total de \(x\) se deriva entonces de la derivada parcial de x con respecto a cada una de las variables:
Una relación entre las desviaciones estándar de x y a, b, c, etc… se forma en dos pasos:
- al elevar al cuadrado la ecuación \ref{3}, y
- tomando la suma total desde \(i = 1\) hasta \(i = N\), donde \(N\) es el número total de medidas.
En el primer paso, aparecen dos términos únicos en el lado derecho de la ecuación: términos cuadrados y términos cruzados.
Términos cuadrados:
Términos cruzados:
Los términos cuadrados, debido a la naturaleza de la cuadratura, son siempre positivos, y por lo tanto nunca se cancelan entre sí. Por el contrario, los términos cruzados pueden anularse entre sí, debido a la posibilidad de que cada término sea positivo o negativo. Si da, db y dc representan incertidumbres aleatorias e independientes, aproximadamente la mitad de los términos cruzados serán negativos y la otra mitad positivos (esto se debe principalmente al hecho de que las variables representan la incertidumbre sobre una media). En efecto, la suma de los términos cruzados debería acercarse a cero, especialmente a medida que aumenta \(N\). Sin embargo, si las variables están correlacionadas en lugar de ser independientes, el término cruzado puede no cancelarse.
Suponiendo que los términos cruzados se cancelan, entonces el segundo paso – la suma de \(i = 1\) a \(i = N\) – sería:
Dividiendo ambos lados por \(N – 1\):
El paso anterior creó una situación en la que la ecuación \ref{7} podría imitar la ecuación de desviación estándar. Esto es deseado, porque crea una relación estadística entre la variable \(x\), y las otras variables \(a\), \(b\), \(c\), etc… de la siguiente manera:
La ecuación de la desviación estándar se puede reescribir como la varianza (\(\sigma_x^2\)) de \(x\):
Escribiendo la ecuación \ref{7} utilizando la relación estadística creada se obtiene la Fórmula Exacta de Propagación del Error:
Así, se consigue el resultado final. La ecuación \ref{9} muestra una relación estadística directa entre múltiples variables y sus desviaciones estándar. En la siguiente sección, se dan las derivaciones para los cálculos más comunes, con un ejemplo de cómo se obtuvo la derivación.
| Tipo | Ejemplo | Estándar Desviación (\(\sigma_x\)) |
|---|---|---|
| Suma o Resta | (x = a + b – c\a) | (\a_x= \aqrt{{sigma_a}^2+{sigma_b}^2+{sigma_c}^2} \label{10}) | Multiplicación o División | (x = \dfrac{ a x b}{c}) | ( \dfrac{\sigma_x}{x}=\sqrt{\left(\dfrac{\sigma_a}{a}\right)^2+\left(\dfrac{\sigma_b}{b}\right)^2+\left(\dfrac{\sigma_c}{c}\right)^2} \) (11) |
| iv id=»a^y\) | iv=(\dfrac{sigma_x}{x}=y(\dfrac{sigma_a})^2) (12) | |
| Logarítmico | iv id=»x = \log(a)) | iv(\sigma_x=0,434(\dfrac{sigma_a}{a})\}. (13) |
| iv id=»antilog(a)) | iv(\dfrac{sigma_x}{x}=2,303({\sigma_a})\}) (14) |
Donde \(a\), \(b\), y \(c\) son variables medidas de un experimento y \(\sigma_a), \(\sigma_b\), y \(\sigma_c\) son las desviaciones estándar de esas variables.
La suma, la resta y las ecuaciones logarítmicas conducen a una desviación estándar absoluta, mientras que la multiplicación, la división, la exponencial y las ecuaciones antilogarítmicas conducen a desviaciones estándar relativas.
Derivación del ejemplo aritmético
La fórmula exacta para la propagación del error en la ecuación \(\ref{9}}) puede utilizarse para derivar los ejemplos aritméticos anotados en la tabla \(\PageIndex{1}}. Comenzando con una ecuación simple:
donde \(x\) es el resultado deseado con una desviación estándar dada, y \(a\), \(b\), y \(c\) son variables experimentales, cada una con una desviación estándar de diferencia. Tomando la derivada parcial de cada variable experimental, \(a\), \(b\), y \(c\):
y
Colocando estas derivadas parciales en la ecuación \(\ref{9}\) se obtiene:
Dividiendo la ecuación \ref{17} por la ecuación \ref{15} al cuadrado se obtiene:
Cancelando los términos y elevando al cuadrado ambos lados se obtiene la Ecuación 11 de la Tabla \(\PageIndex{1}):
Ejemplo \(\PageIndex{1})
Continuando con el ejemplo de la introducción (en el que estamos calculando la absorbencia molar de una molécula), supongamos que tenemos una concentración de 13.7(±0,3) moles/L, una longitud de camino de 1,0(±0,1) cm, y una absorción de 0,172807(±0,000008). La ecuación de la absortividad molar es ε = A/(lc).
Solución
Como la Ley de Beer trata de la multiplicación/división, utilizaremos la Ecuación 11:
\Ncomo se indica en la nota anterior, la Ecuación 11 da una desviación estándar relativa, o un porcentaje de la variable ε. Utilizando la Ley de Beer, ε = 0,012614 L moles-1 cm-1 Por lo tanto, la \(\sigma_{epsilon}\) para este ejemplo sería el 10,237% de ε, que es 0,001291.
Contando las cifras significativas, la respuesta final sería:
ε = 0,013 ± 0.001 L moles-1 cm-1
Ejemplo \(\PageIndex{2})
Si se da una ecuación que relaciona dos variables diferentes y se dan las incertidumbres relativas de una de las variables, es posible determinar la incertidumbre relativa de la otra variable utilizando el cálculo. En los problemas, la incertidumbre suele darse en forma de porcentaje. Supongamos que medimos el radio de un objeto muy pequeño. El problema podría indicar que existe una incertidumbre del 5% al medir este radio.
Solución
Para utilizar realmente este porcentaje para calcular incertidumbres desconocidas de otras variables, primero debemos definir qué es la incertidumbre. La incertidumbre, en cálculo, se define como:
(dx/x)=(∆x/x) = incertidumbre
Ejemplo \(\PageIndex{3})
Volvamos a ver el ejemplo del radio de un objeto. Si sabemos que la incertidumbre del radio es del 5%, la incertidumbre se define como (dx/x)=(∆x/x)= 5% = 0,05.
Ahora estamos preparados para utilizar el cálculo para obtener una incertidumbre desconocida de otra variable. Digamos que medimos el radio de una arteria y encontramos que la incertidumbre es del 5%. ¿Cuál es la incertidumbre de la medida del volumen de sangre que pasa por la arteria? Digamos que la ecuación que relaciona el radio y el volumen es:
Donde c es una constante, r es el radio y V(r) es el volumen.
Solución
El primer paso para encontrar la incertidumbre del volumen es entender nuestra información dada. Como nos dan que el radio tiene una incertidumbre del 5%, sabemos que (∆r/r) = 0,05. Estamos buscando (∆V/V).
Ahora que hemos hecho esto, el siguiente paso es tomar la derivada de esta ecuación para obtener:
Ahora podemos multiplicar ambos lados de la ecuación para obtener:
Como buscamos (∆V/V), dividimos ambos lados por V para obtener:
Se nos da la ecuación del volumen para que sea \(V = c(r)^2\), así que podemos volver a enchufar esto en nuestra ecuación anterior para \(V\) para obtener:
Ahora podemos cancelar las variables que están tanto en el numerador como en el denominador para obtener:
Ahora hemos reducido la ecuación de forma que queda ∆r/r. Sabemos que el valor de la incertidumbre para ∆r/r es del 5%, es decir, 0,05. Al enchufar este valor para ∆r/r obtenemos:
frac{∆V}{V} = 2 (0,05) = 0,1 = 10\%\]
La incertidumbre del volumen es del 10%. Este método se puede utilizar también en química, no sólo en el ejemplo biológico mostrado anteriormente.