El rango es cuántas de las filas son «únicas»: no están hechas de otras filas. (Lo mismo para las columnas.)
Ejemplo:EstaMatriz
La segunda fila es sólo 3 veces la primera. Sólo un copión inútil. No cuenta.
Así que aunque haya 2 filas, el rango es sólo 1.
¿Y las columnas? La segunda columna es sólo el doble de la primera. Y la tercera columna es tres veces la primera (o 1,5 veces la segunda) por lo que tampoco cuenta.
Así que las columnas también nos muestran que el rango es sólo 1.
Ejemplo:EstaMatriz
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La segunda fila no está hecha de la primera, por lo que el rango es al menos 2.
¿Pero qué pasa con la tercera fila? Es la primera y la segunda sumadas, por lo que no cuenta.
Así que aunque haya 3 filas, el rango es sólo 2.
¿Y las columnas? La segunda columna está bien, pero la columna 3 son las columnas 1 y 2 sumadas.
Así que las columnas también nos muestran que el rango es sólo 2.
Ejemplo:EstaMatriz
.
La segunda fila no está hecha de la primera, por lo que el rango es al menos 2.
La tercera fila parece estar bien, pero tras mucho examinarla descubrimos que es la primera fila menos el doble de la segunda. Escurridizo. Así que el rango es sólo 2.
Y para las columnas: En este caso la columna 3 son las columnas 1 y 2 sumadas. Así que las columnas también nos muestran que el rango es 2.
Ejemplo:La matriz de identidad
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Todas las filas son individuos fuertes e independientes, que no dependen de otros para su existencia. Así que el rango es 3.
Y exactamente lo mismo para las columnas, por lo que también nos dicen que el rango es 3.
Cuando hablamos aquí de las filas, también podemos decir lo mismo de las columnas.
Así que realmente no necesitamos calcular ambas cosas.
¿Por qué encontrar el rango?
El rango nos dice mucho sobre la matriz.
Es útil para saber si tenemos posibilidades de resolver un sistema de ecuaciones lineales: cuando el rango es igual al número de variables podemos encontrar una solución única.
Ejemplo: Manzanas y plátanos
Si sabemos que
- 2 manzanas y 3 plátanos cuestan 7 dólares
- 3 manzanas y 3 plátanos cuestan 9 dólares
- 2 manzanas y 3 plátanos cuestan 7$
- 4 manzanas y 6 plátanos cuestan 14$
Entonces podemos averiguar que la manzana extra debe costar 2 dólares, y por tanto los plátanos cuestan 1 dólar cada uno.
(Hay 2 variables y el rango también es 2.)
Pero si sólo sabemos que
No podemos ir más allá porque la segunda fila de datos es sólo el doble de la primera y no nos da ninguna información nueva.(Hay 2 variables y el rango es sólo 1.)
También tiene usos en comunicación, estabilidad de sistemas y más.
Dependencia lineal
En lugar de «no se hace de» decimos que son linealmente independientes, lo cual es una idea importante.
Lineal significa que podemos multiplicar por una constante, pero no por potencias u otras funciones. La constante puede ser cualquier número real (0, 1, cualquier número entero, fracción, negativos, etc.).
Dependencia significa que dependen unos de otros, es decir, que podemos sumar unos (tras multiplicar por una constante) para hacer otro.
Imagina que son vectores (tienen dirección y longitud). Podemos combinar los otros vectores (estirados o encogidos según convenga) para obtener el mismo resultado?
c = a + 2b,
así que c depende linealmente de a y b
También fíjate en que:
- a y b son juntos linealmente independientes: no podemos usar a por sí solo para llegar a donde está b, o viceversa.
- Lo mismo ocurre con b y c, o con a y c.
- Pero a, b y c son juntos linealmente dependientes.
Pensando sólo en a y b: realmente podemos llegar a cualquier parte del plano usando esos dos vectores:
Los vectores a y b abarcan todo el plano.
Cuando los vectores son linealmente independientes y abarcan todo un espacio decimos que son una «base» de ese espacio.
Así que a y b son una base del plano 2D.
Nota: el espacio es un término general que abarca 1, 2, 3 o más dimensiones, pero a menudo llamamos plano al espacio 2D.
Así que a y b son tan útiles como los ejes x,y. Y lo mismo podría decirse de 2 vectores cualesquiera linealmente independientes en el plano 2D.
El par más básico de vectores linealmente independientes son (1,0) y (0,1) que forman la matriz identidad 2×2:
Esencialmente forman los conocidos ejes x,y:
Y en 3D:
Y en 4D:
Cómo encontrar el rango
Por lo general, lo mejor es usar un software para encontrar el rango, hay algoritmos que juegan con las filas y columnas para calcularlo. Pero en algunos casos podemos averiguarlo nosotros mismos.
Para una matriz cuadrada el determinante puede ayudar: un determinante distinto de cero nos dice que todas las filas (o columnas) son linealmente independientes, por lo que es de «rango completo» y su rango es igual al número de filas.
Ejemplo:¿Son estos vectores 4d linealmente independientes?
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El determinante es (usando la calculadora de matrices):
1(2(3×4-0×0)-2(0×4-0×1)+0(0×0-3×1))-2(0(3×4-0×0)-2(1×4-0×0)+0(1×0-3×0))+3(0(0×4-0×1)-2(1×4-0×0)+0(1×1-0×0))-4(0(0×0-3×1)-2(1×0-3×0)+2(1×1-0×0)) = 8
El determinante es distinto de cero por lo que todos deben ser linealmente independientes.
Y por tanto es de rango completo, y el rango es 4.
Así que sabemos que en realidad es una base para el espacio 4D: usando estos 4 vectores podemos abarcar todo el espacio 4D.
Un gran ejemplo en el que las matemáticas pueden decirnos algo que no podemos imaginar fácilmente.
Otras propiedades
El rango no puede ser mayor que la dimensión más pequeña de la matriz.
Ejemplo: para una matriz de 2×4 el rango no puede ser mayor que 2
Cuando el rango es igual a la dimensión más pequeña se llama «rango completo», un rango menor se llama «rango deficiente».
El rango es al menos 1, excepto para una matriz cero (una matriz formada por todos los ceros) cuyo rango es 0.