Relación reflexiva sobre el conjunto

La relación reflexiva sobre el conjunto es un elemento binario en el que cada elemento está relacionado consigo mismo.

Sea A un conjunto y R la relación definida en él.

Se establece que R es reflexiva, si (a, a) ∈ R para todo a ∈ A es decir, todo elemento de A está relacionado con R consigo mismo, en otras palabras aRa para todo a ∈ A.

Una relación R en un conjunto A no es reflexiva si existe al menos un elemento a ∈ A tal que (a, a) ∉ R.

Consideremos, por ejemplo, un conjunto A = {p, q, r, s}.

La relación R(_{1}\a) = {(p, p), (p, r), (q, q), (r, r), (r, s), (s, s)} en A es reflexiva, ya que cada elemento de A está relacionado con R(_{1}\a).

Pero la relación R(_{2}} = {(p, p), (p, r), (q, r), (q, s), (r, s)} no es reflexiva en A ya que q, r, s ∈ A pero (q, q) ∉ R(_{2}}), (r, r) ∉ R(_{2}\a) y (s, s) ∉ R(_{2}\a)

Ejemplo resuelto de relación reflexiva sobre conjunto:

1.Una relación R está definida sobre el conjunto Z (conjunto de todos los enteros) por «aRb si y sólo si 2a + 3b es divisible por 5», para todo a, b ∈ Z. Examine si R es una relación reflexiva sobre Z.

Solución:

Déjese a ∈ Z. Ahora 2a + 3a = 5a, que es divisible por 5. Por lo tantoaRa se cumple para todo a en Z es decir, R es reflexivo.

2.Una relación R se define sobre el conjunto Z por «aRb si a – b es divisible por 5» para a,b ∈ Z. Examinar si R es una relación reflexiva sobre Z.

Solución:

Dejemos que a ∈ Z. Entonces a – a es divisible por 5. Por tanto aRa es válido para todos los a de Z, es decir, R es reflexivo.

3.Considere el conjunto Z en el que una relación R está definida por ‘aRb si y sólo si a +3b es divisible por 4, para a, b ∈ Z. Demuestre que R es una relación reflexiva sobre el conjuntoZ.

Solución:

Déjese a ∈ Z. Ahora a + 3a = 4a, que es divisible por 4. Por lo tantoaRa se mantiene para todo a en Z es decir, R es reflexivo.

4.Una relación ρ está definida en el conjunto de todos los números reales R por ‘xρy’ si y sólo si |x – y| ≤ y, para x, y ∈ R. Demuestre que la ρ no es una relación reflexiva.

Solución:

La relación ρ no es reflexiva ya que x = -2 ∈ R pero |x – x| = 0que no es menor que -2(= x).

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