Triángulos rectos especiales | Math Wiki

Un triángulo recto especial es un triángulo recto con alguna característica regular que facilita los cálculos sobre el triángulo, o para el que existen fórmulas sencillas. Por ejemplo, un triángulo rectángulo puede tener ángulos que forman una proporción simple, como 45-45-90. Esto se llama un triángulo rectángulo «basado en un ángulo». Un triángulo rectángulo «basado en los lados» es aquel en el que las longitudes de los lados forman una proporción de números enteros, como 3-4-5. Conocer las relaciones de los ángulos o lados de estos triángulos rectángulos especiales permite calcular rápidamente varias longitudes en problemas geométricos sin recurrir a métodos más avanzados.

Basado en ángulos

Los triángulos rectángulos especiales «basados en ángulos» se especifican por la relación entera de los ángulos que componen el triángulo. La relación entera de los ángulos de estos triángulos es tal que el ángulo mayor (recto) es igual a la suma de los ángulos menores: ${displaystyle m:n:(m+n)\N$ . Las longitudes de los lados se deducen generalmente de la base del círculo unitario o de otros métodos geométricos. Esta forma es muy interesante porque permite reproducir rápidamente los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos 30°, 45°, & 60°.

Triángulo 45-45-90

Construyendo la diagonal de un cuadrado se obtiene un triángulo cuyos tres ángulos están en la proporción ${displaystyle 1:1:2\\N-,}$ . Con los tres ángulos sumando 180° (π) los ángulos miden respectivamente 45° ${displaystyle ({\frac {\pi }{4}}),$ ${desde el estilo ({\frac {\pi }{4}}),}$ y 90° ${desde el estilo ({\frac {\pi }{2}}).$ Los lados están en la proporción

${displaystyle 1:1:{\sqrt {2}}.}$

Una prueba sencilla. Digamos que se tiene un triángulo de este tipo con los catetos a y b y la hipotenusa c. Supongamos que a = 1. Como los dos ángulos miden 45º, se trata de un triángulo isósceles y tenemos b = 1. El hecho de que ${displaystyle c={sqrt {2}}$ se deduce inmediatamente del teorema de Pitágoras.

Triángulo 30-60-90

Se trata de un triángulo cuyos tres ángulos están en la proporción ${displaystyle 1:2:3,}$ , y miden respectivamente 30°, 60° y 90°. Dado que este triángulo es la mitad de un triángulo equilátero, algunos lo denominan triángulo hemieq. La denominación 30-60-90 no sólo es engorrosa, sino que hace referencia al grado, una división arbitraria de la medida angular. Los lados están en la proporción ${displaystyle 1-{sqrt {3}}-2$ .

La prueba de este hecho es clara utilizando la trigonometría. Aunque la demostración geométrica es menos aparente, es igualmente trivial:

Dibuja un triángulo equilátero ABC de lado 2 y con el punto D como punto medio del segmento BC. Dibuja una línea de altitud desde A hasta D. Entonces ABD es un triángulo 30-60-90 (Hemieq) con hipotenusa de longitud 2, y base BD de longitud 1. El hecho de que el cateto restante AD tenga longitud ${{displaystyle {\sqrt {3}}$ se deduce inmediatamente del teorema de Pitágoras.

De lado

Todos los triángulos rectángulos especiales de lado poseen ángulos que no son necesariamente números racionales, pero cuyos lados son siempre de longitud entera y forman un triple pitagórico. Son muy útiles porque se pueden recordar fácilmente y cualquier múltiplo de los lados produce la misma relación.

Triplos pitagóricos comunes

Hay varios triples pitagóricos muy conocidos, entre los que se encuentran:

${displaystyle 3:4:5,}$ ${displaystyle 5:12:13,}$ ${desde el estilo 6:8:10,}$ (un múltiplo del triple 3:4:5) ${desde el estilo 8:15:17\,}$ ${displaystyle 7:24:25\,}$

El más pequeño de ellos (y sus múltiplos, 6:8:10, 9:12:15,…) es el único triángulo rectángulo con aristas en progresión aritmética. Los triángulos basados en triples pitagóricos son heronianos y, por tanto, tienen área entera.

Triángulos de Fibonacci

A partir del 5, cualquier otro número de Fibonacci {0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, 233,377, 710,…} es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo de lados enteros, o lo que es lo mismo, el mayor número de un triple pitagórico. La longitud del cateto más largo de este triángulo es igual a la suma de los tres lados del triángulo precedente en esta serie de triángulos, y el cateto más corto es igual a la diferencia entre el número de Fibonacci anterior saltado y el cateto más corto del triángulo precedente.

El primer triángulo de esta serie tiene lados de longitud 5, 4 y 3. Saltando el 8, el siguiente triángulo tiene lados de longitud 13, 12 (5 + 4 + 3), y 5 (8 – 3). Saltando el 21, el siguiente triángulo tiene lados de longitud 34, 30 (13 + 12 + 5) y 16 (21 – 5). Esta serie continúa indefinidamente y se aproxima a un triángulo límite con cocientes de aristas:

${{displaystyle {\sqrt {5}}:2:1}$

Este triángulo rectángulo se denomina a veces dom, nombre sugerido por Andrew Clarke para subrayar que es el triángulo que se obtiene de la disección de un dominó a lo largo de una diagonal. El dom constituye la base del mosaico aperiódico del molinete propuesto por John Conway y Charles Radin.

Triples pitagóricos casi isósceles

Los triángulos rectángulos isósceles no pueden tener lados con valores enteros. Sin embargo, existen infinitos triángulos rectángulos casi isósceles. Se trata de triángulos rectángulos con lados enteros para los que las longitudes de las aristas no hipotenusas difieren en uno. Dichos triángulos rectángulos casi isósceles pueden obtenerse recursivamente utilizando la ecuación de Pell:

a0 = 1, b0 = 2 an = 2bn-1 + an-1 bn = 2an + bn-1

an es la longitud de la hipotenusa, n=1, 2, 3,…. . Los triples pitagóricos más pequeños que resultan son:

${desde el estilo 3:4:5,}$ ${desde el estilo 20:21:29,}$ ${desde el estilo 119:120:169\},}$ ${{designar estilo 696:697:985\},}$

Calcular funciones trigonométricas comunes

Se utilizan triángulos especiales para ayudar a calcular funciones trigonométricas comunes, como las que se muestran a continuación:

Grados	Radios	sin	cos	tan
0	0	0	1	0
30	${displaystyle {\frac {\pi }{6}}$	${displaystyle {\frac {1}{2}}$	${displaystyle {\frac {\sqrt {3}{2}}$	${displaystyle {\frac {\sqrt {3}{3}}$	45	${displaystyle {\frac {\pi {{4}}$	${desde el estilo de visualización {\frac {{2}}{2}}$	${desde el estilo de visualización {\frac {{2}}{2}} {2}{2}}$
60	${displaystyle {\frac {\pi }{3}}$	${displaystyle {\frac {\sqrt {3}{2}}$	${displaystyle {\frac {1}{2}}$	${displaystyle {\sqrt {3}}$
90	${displaystyle {\frac {\pi }{2}}$	1	0	–