Articles

Het concurrentie-uitsluitingsprincipe in stochastische omgevingen

Posted on

Aanhangsel A: Bewijs van stelling 4.1

Als het aantal soorten strikt groter is dan het aantal hulpbronnen, \(n>m\), dan is het systeem

$ \sum _{i=1}^nc_{i} b_{ij}=0, ~j=1,m \eind{aligned}$
(A.1)

geeft een niet-triviale oplossing ((c_1, punten , c_n)}.

Theorema A.1

Aanname dat \lim _{\Vert \mathbf {x}Vert \rightarrow \infty } R_j(\mathbf {x})=-\infty , j=1,punten,m\). Stel verder dat n soorten op elkaar inwerken volgens (4.3), het aantal soorten groter is dan het aantal hulpbronnen \(n>m\) en de hulpbronnen afhankelijk zijn van de soortendichtheden volgens (2.2) zodat ze uiteindelijk uitgeput raken. Stel verder dat g_i(\mathbf {x})=1) en

$begin{aligned} 0<r_limin _{Vert \mathbf {x}} \►frac{|R_{j}(\mathbf {x})|}{|R_1(\mathbf {x})|}^M<infty , \end{aligned}$

voor \(j=1,\dots,m\). Zij \((c_1,\dots,c_n)\) een niet-triviale oplossing voor (A.1) en neem aan dat \(\sum _{i=1}^n c_i_left( \alpha _i+\frac{\sigma _{ii}}{2}}right) \ne 0}). Dan geldt voor elke startdichtheid \(\mathbf {x}(0)\in (0,\infty )^n) met kans 1

$ \ln \min \{x_1(t),\dots , x_n(t)}}{t}<0. \eind{aligned}$

Bewijs van Stelling 4.1

Voorstel dat \(g_i(\mathbf {x})=1), \(i=1,\dots , n) en \(\sum _jb_{ij}>b_m>0) voor elke i en sommige \(b_m>0). Merk op dat als \sum _j b_{ij}=0\) dan kunnen we \(R_j\) uit de vergelijking schrappen. Stel dat

$$begin{aligned} 0<r_mijl _{\Vert \mathbf {x}\Vert \rightarrow \infty } \frac{|R_{j}(\mathbf {x})|}{|R_1(\mathbf {x})|}le r^M<

dinfty . \end{aligned}$

Dan, aangezien \lim _{\Vert \mathbf {x}}Vert \rightarrow \infty } R_j(\mathbf {x})=-\infty }), hebben we wanneer \(|\mathbf {x}||) groot is dat:

$$\begin{aligned} \sum _{i}-links( -x_i_alpha _i+x_i\sum _j b_{ij} R_j(\mathbf {x})\rechts)\le & {} -\sum _{i}-links( x_i\alpha _i +x_i\sum _j b_{ij} & {} -sum _{i}left( x_i\alpha _i +x_i r_m \sum _j b_{ij} |R_{1}(\mathbf {x})|rechts) & {} – r_mb_m_left( \sum _i x_i}rechts) |R_1(\mathbf {x})|

{} – r_mb_m_left( \sum _i x_i})|R_1(\mathbf {x})|rechts) & {}\frac{r_m b_m}{mR_m}}left( \sum _i x_i}right) \sum _j |R_j(\mathbf {x})| \end{aligned}$

wat samen met de lineariteit van het diffusiedeel impliceert dat Assumptie 1.1 uit het werk van HN16 geldt met \(\mathbf {c}=(1,\dots , 1)\). Als gevolg hiervan heeft de SDE (4.3) voor elk beginpunt \(\mathbf {x}(0)^in (0,\infty )^n) een unieke positieve oplossing en door Hening en Nguyen (2018a) (vergelijking (5.22)) met waarschijnlijkheid 1

$$begin{aligned} \Vert \mathbf {x}Vert \rightarrow \infty }\frac{\ln \Vert \mathbf {x}Vert }{t}le 0. \eind{aligned}$

(A.2)

Door eventueel alle \(c_i}) te vervangen door \(-c_i}) kunnen we aannemen dat \(\sum _{i=1}^n c_i}left( \alpha _i+\frac{\sigma _{ii}}{2}right) >0}). Als we dit gebruiken in combinatie met (4.3), (A.1) en Itô’s Lemma zien we dat

$ \dfrac{\sum _{i=1}^n c_i\ln x_i(t)}{t}=-\sum _{i=1}^nc_iLinks( \alpha _i+\frac{sigma _{ii}}{2}rechts) +\frac{1}{t}\sum _{i=1}^n c_i\int _0^tE_i(s)\,ds ¹einde{aligned}$

Laten we \(t}rechtsarrow \infty \) en gebruiken we dat \lim _{t}rechtsarrow \infty }dfrac{\sum _{i=1}^n c_iE_i(t)}{t}=0}) met kans 1, dan krijgen we dat met kans 1

$\begin{aligned} \lim _{trightarrow \infty }{dfrac{\sum _{i=1}^n c_i}ln x_i(t)}{t}=-sum _{i=1}^nc_i_left( \alpha _i+\frac{\sigma _{ii}}{2}}right) < 0. \Einde{aligned}$

In het licht van (A.2) impliceert dit dat met een waarschijnlijkheid van 1

$ \limsup _{trightarrow \infty } \dfrac{[ln]inks( \min \{x_1(t),\dots , x_n(t)}rechts) }{t}<0. \eind{aligned}$

(\kwadraat})

Appendix B: Bewijs van Stelling 4.2

Aanname dat twee soorten op elkaar inwerken volgens

$begin{aligned} dx_i(t) = x_i(t)\links( -alpha _i+b_iR(\mathbf {x}(t))\rechts) \,dt + x_i(t)\sqrt{\beta _i x_i(t)} \dB_i(t), ~i=1,2, \einde{aligned}$

de hulpbron R hangt lineair af van de soortendichtheden

$ R(\mathbf {x})={overline{R}} – a_1 x_1(t) – a_2x_2(t) \eind{aligned}$

en _i(b_i{overline{R}}>_alpha _i, i=1,2\). Dan bestaan er \beta _1, \beta _2>0) zo dat de twee soorten naast elkaar bestaan.

Bewijs

Bedenk

$begin{aligned} dx_i(t) = x_i(t)\links( -alpha _i+b_iR(\mathbf {x}(t))\rechts) \,dt + x_i(t)\sqrt{\beta _i x_i(t)} \dB_i(t), ~i=1,2. \Einde{aligned}$

Als de soort x_2 afwezig is, heeft de soort x_1 de eendimensionale dynamiek

Als de soort x_2 afwezig is, heeft de soort x_1 de eendimensionale dynamiek

Als de soort x_2 afwezig is, heeft dedimensionale dynamiek

$begin{aligned} dx(t) = x(t)links( -alpha _1 + b_1 ({overline{R}}-a_1x(t))rechts) dt+ x(t)\sqrt{\beta _1 x(t)} \dB_1(t). \Einde{aligned}$

Sinds b_1{overline{R}}>alpha _1), kunnen we Hening en Nguyen (2018a) gebruiken om aan te tonen dat het proces x(t) een unieke invariante maat heeft op \((0,\infty )\), zeg \mu _1). Bovendien laat (Hening en Nguyen 2018a, Lemma 2.1 ) zien dat

$ \int _0^infty \left( -\alpha _1+b_1({overline{R}}-a_1 x)-\beta _1xright) \mu _1(dx)=0 \eind{aligned}$

of

$\begin{aligned} \int _0^infty x[mu _1(dx)=\dfrac{b_1{overline{R}}-\alpha _1}{b_1a_1+beta _1}. \Einde{aligned}$

De invasiesnelheid van \(x_2) ten opzichte van \(x_1) kan met (4.2) worden berekend als

$ \Lambda _{x_2}=[int _0^infty \left( -\alpha _2+b_2({overline{R}}-a_1 x)\right) \mu _1(dx) =(b_2{\overline{R}}-\alpha _2)- b_2a_1 \dfrac{b_1\overline{R}-\alpha _1}{b_1a_1+beta _1}. \Einde{aligned}$

Op vergelijkbare wijze kan men de invasiesnelheid van \(x_1) ten opzichte van \(x_2) berekenen als

$\begin{aligned} \Lambda _{x_1}=(b_1{overline{R}}-alfa _1)- b_1a_2 \dfrac{b_2overline{R}-alfa _2}{b_2a_2+beta _2}. \Einde{aligned}$

Sinds \(b_i{overline{R}}-alfa _i>0), kan men gemakkelijk zien dat \( \Lambda _{x_2}>0), en \Lambda _{x_1}>0) als \( \beta _1>dfrac{b_2a_1(b_1{overline{R}-alfa _1)}{b_2\overline{R}-alfa _2}-b_1a_1. \) en b2>frac{b_1a_2(b_2{R}-alfa _2)}{b_1{\overline{R}}-alfa _1}-b_2a_2. \) Als beide invasiesnelheden positief zijn krijgen we van Hening en Nguyen (2018a) dat de soorten naast elkaar bestaan.

Appendix C: Bewijs van Stelling 4.3

We construeren een SDE-voorbeeld van twee soorten die concurreren om één abiotische hulpbron en naast elkaar bestaan. We merken op dat dit uitsluitend gebeurt vanwege de willekeurige temporele omgevingsvariatieterm.

Stelling C.1

Vergonderstel dat de dynamiek van de twee soorten wordt gegeven door

$ \begin{aligned} dx_1(t)&=x_1(t)(-\alpha _1+f({\overline{R}}-a_1x_1(t)-a_2x_2(t)))\,dt +-sigma _1x_1dB_1(t)&=x_2(t)(-alpha _2+({{overline{R}}-a_1x_1(t)-a_2x_2(t)))ict,dt einde{aligned} \einde{aligned}$
(C.1)

waarbij f een continu differentieerbare Lipschitz-functie is die voldoet aan \lim _{xrechtlijnig – -f(x)= -fijn), \(\dfrac{df(x)}{dx}>0, \dfrac{d^2f(x)}{dx^2}le 0) voor alle \(x)in \mathbb {R}} en \(\dfrac{d^2f(x)}{dx^2}<0) voor x in een deelinterval van \(\left( -\infty ,\frac{{\overline{R}}}{a_1}\right) \). Zij _1, a_2, \sigma _1, \alpha _1,\sigma _1, {\overline{R}}) vaste positieve constanten die voldoen aan \(f({\overline{R}})> \alpha _1+\dfrac{\sigma _1^2}{2}}. Dan bestaat er een interval ((c_0,c_1)deelverzameling (0,\infty )\) zo dat de twee soorten naast elkaar bestaan voor alle \(\alpha _2}in (c_0,c_1)\).

Bewijs

De dynamica van de soort x_1 in afwezigheid van de soort x_2 wordt gegeven door de eendimensionale SDE

$dt + sigma _1xdB_1(t).\einde{aligned}$

Sinds \lim _{xrightarrow \infty }f({overline{R}}-a_1x)=-\infty \), en \(f(\overline{R})>[\alpha _1+\dfrac{sigma _1^2}{2}\), heeft deze diffusie een unieke invariante kansmaat (\mu \) op \((0,\infty )\) waarvan de dichtheid strikt positief is op \((0,\infty )\) (zie Borodin en Salminen (2016) of Mao (1997)). Bovendien ziet men, door op te merken dat \lim _{t}rechtarrow \infty }=0\) met kans 1 (met behulp van Lemma 5.1 van Hening en Nguyen (2018a)) en met behulp van de formule van Itô, dat

$begin{aligned} \int _0^infty f({overline{R}}-a_1x)\mu (dx)=alpha _1+dfrac{sigma _1^2}{2}. \Einde{aligned}$

(C.2)

Omdat f een concave functie is en \dfrac{d^2f(x)}{dx^2}>0) voor alle x in een of ander subinterval van \left( -\infty ,\frac{\overline{R}}{a_1}}rechts)) moeten we door de ongelijkheid van Jensen hebben dat

$ \int _0^\infty f({{overline{R}}-a_1x)\mu (dx)< f\left( \int _0^\infty (\overline{R}-a_1x)\mu (dx)\right) . \einde{aligned}$
(C.3)

Het feit dat de functie f strikt stijgend is dwingt samen met (C.2) en (C.3)

$ \varepsilon _0:= {int _0^infty ({overline{R}}-a_1x)\mu (dx)- f^{-1}links( \alpha _1+\dfrac{sigma _1^2}{2}rechts) >0, \einde{aligned}$
(C.4)

waarbij ^(f^{-1}) de inverse is van f-het bestaat omdat f strikt stijgend is. Als gevolg hiervan kan de invasiesnelheid van de soort ^(x_2) ten opzichte van ^(x_1), van de invariante kansmaat ^(^mu ^), met behulp van (4.2) worden berekend als

$ \Lambda _{x_2}=-alfa _2+int _0^infty ({overline{R}}}-a_1x)\mu (dx)=varepsilon _0+ f^{-1}-links( \alpha _1+dfrac{\sigma _1^2}{2}rechts) – \alpha _2. \einde{aligned}$

Dit impliceert dat \Lambda _{x_2}>0) als en slechts als

$ \alpha _2<varepsilon _0+ f^{-1}left( \alpha _1+\dfrac{\sigma _1^2}{2}rechts) . \Einde{aligned}$
(C.5)

De dynamica van de soort \(x_2) in afwezigheid van de soort \(x_1) is

$ \einde{aligned}$

De positieve oplossingen van deze vergelijking convergeren naar het punt \(y^*={overline{R}}-\alpha _2}{a_2}}) als en slechts als

$\begin{aligned} {{overline{R}}>alpha _2. \eind{aligned}$
(C.6)

De invasiesnelheid van (x_1) ten opzichte van (x_2) wordt

$ \Lambda _{x_1}=-alfalfa _1-\frac{\sigma _1^2}{2}+f(\alpha _2). \eind{aligned}$

Merk op dat aangezien de functie f stijgend is we (\Lambda _{x_1}>0) krijgen als en slechts als

$ \¤alpha _2>f^{-1}f^{1}left( ¤alpha _1+{sigma _1^2}{2}rechts) . \einde{uitgelijnd}$
(C.7)

Merk op dat ^(f^{-1} links( \alpha _1+\dfrac{sigma _1^2}{2}}rechts) <{overline{R}}}) omdat door aanname \(f({{overline{R}})>{alpha _1+\dfrac{sigma _1^2}{2}}). Hieruit volgt, gebruikmakend van de ongelijkheden (C.5), (C.6) en (C.7) dat \(\Lambda _{x_2}>0, \Lambda _{x_1}>0) als en slechts als

$$ \alpha _2}in \left( f^{-1}left( \alpha _1+\dfrac{\sigma _1^2}{2}rechts) , \overline{R}}lewedge \left( f^{-1}left( \alpha _1+\dfrac{\sigma _1^2}{2}rechts) +\varepsilon _0}rechts) . \Einde{uitgelijnd}$

Dit impliceert volgens Theorem 3.1 of volgens Benaim (2018) dat de twee soorten naast elkaar bestaan.

Appendix D: Bewijs van Stelling 5.1

Aanname dat

$ \lim _{\Vert \mathbf {x}\Vert \rightarrow \infty } \links( -alpha _i(u)+sum _{j=1}^mb_{ij}(u)R_j(\mathbf {x},u) \rechts) <0, i=1,punten , n, u=1,punten ,N.\quad \eind{aligned}$

(D.1)

Stel verder dat er een vector bestaat((c_1,\dots,c_n)\) die tegelijkertijd een oplossing is voor de stelsels (5.5) voor alle \(u in \1,\dots,N}). Dan is, met kans 1,

$ \ln \min \{x_1(t),\dots , x_n(t)}}{t}<0 \eind{aligned}$

uitgezonderd eventueel het kritische geval wanneer

$begin{aligned} \sum _{i=1}^n c_i\sum _{k=1}^N\alpha _i(k)\nu _k=0, \eind{aligned}$
(D.2)

waarin \((\nu _k)_{k\in \mathcal {N}}) de invariante kansmaat is van de Markovketen (r(t)).

Bewijs

Onder de voorwaarde (D.1), bestaat er een M>0 zo dat de verzameling K_M:= {{\mathbf {x}} in \mathbb {R}^n: \Vert \mathbf {x}}Vert \le M}} een globale attractor van (5.4) is. Het gevolg is dat de oplossing van (5.4) uiteindelijk de compacte verzameling (K_M) binnenkomt en nooit meer verlaat. In het bijzonder blijkt hieruit dat het proces \(\mathbf {x}(t)\) begrensd is. Merk vervolgens op dat we kunnen aannemen dat

$ \sum _{i=1}^n c_i\sum _{k=1}^N\alpha _i(k)\pi _k>0. \end{aligned}$
(D.3)

Of anders, als \(\sum _{i=1}^n c_i\sum _{k=1}^N\alpha _i(k)\pi _k<0), kunnen we \(c_i\) vervangen door \(-c_i\), \(i=1,\dots , n\) en dan krijgen we (D.3). Met behulp van (5.1) en het feit dat die \(c_i)’s (5.5) gelijktijdig oplossen krijgen we

$$ \dfrac{\sum _{i=1}^n c_i\ln x_i(t)}{t}=-\dfrac{1}{t}int _0^t\sum _{i=1}^n c_i_alpha _i(r(s))ds \eind{aligned}$

Laten we \(t)\infty \) en gebruiken we de ergodiciteit van de Markovketen (r(t)) dan bekomen we dat met waarschijnlijkheid 1

$\begin{aligned} \limsup _{trightarrow \infty }\dfrac{\sum _{i=1}^n c_i_ln x_i(t)}{t}= & {}…\liminf _{t}rechtsarrow \infty } }dfrac{1}{t}int _0^t}= & {} -\sum _{i=1}^n c_i\sum _{k=1}^N\alpha _i(k)\pi _k< 0 \text {a.s.} \einde{aligned}$

Omdat \(\mathbf {x}(t)\) begrensd is, impliceert dit dat met een waarschijnlijkheid van 1

$\begin{aligned} \limsup _{trightarrow \infty } \dfrac{\ln \min \{x_1(t),\dots , x_n(t)}{t}<0. \eind{aligned}$

(\kwadraat \)

Appendix E: Bewijs van Stelling 5.2

Volgens Benaïm en Lobry (2016), Malrieu en Zitt (2017), en Malrieu en Phu (2016) is het voldoende om een voorbeeld te vinden waarvoor de invasiesnelheden \(\Lambda _{x_1}, \Lambda _{x_2}}) positief zijn. We zullen Benaïm en Lobry (2016) volgen om de invasiesnelheden van de twee soorten te berekenen. Stel voor \(u=1,2})\mu _u=-\alpha _1(u)+b_1(u){overline{R}}, \nu _u=-\alpha _2(u)+b_2(u){overline{R}})\(\overline{a}}_u=\dfrac{b_1(u)a_1(u)}{mu _u}, \overline{b}_u=\dfrac{b_1(u)a_2(u)}{mu _u}}, \overline{c}_u=\dfrac{b_2(u)a_1(u)}{\nu _u}, \overline{d}(u)=\dfrac{b_2(u)a_2(u)}{\nu _u}\), \(p_u=\dfrac{1}{{\overline{a}}_u}, q_u=\dfrac{1}{\overline{d}}_u}, \gamma _1=\dfrac{q_{12}}{\mu _u}, \gamma _2=\dfrac{q_{21}}{\nu _u}}). Als _1 p_2 is, stel dan zonder verlies van algemeenheid dat p_1<p_2 is. Definieer de functies

$ \Theta (x)=:frac{|x-p_1|^{gamma _1-1}|p_2-x|^{gamma _2-1}}{x^{1+gamma _1+gamma _2}} \einde{aligned}$

en

$ P(x)=\dfrac{{\overline{a}}_2-{\overline{a}}_1}{|{\overline{a}}_2-\overline{a}_1|}\left . \eind{aligned}$

Op grond van Benaïm en Lobry (2016) hebben we

$ \Lambda _{x_2}={left}{begin{array}{ll} \dfrac{1}{q_{12}+q_{21}}}+q_{21}{nu _1(1-{overline{c}}_1 p)+q_{12}{nu _2(1-rechts) &{}-tekst {als } p_1=p_2=p_1p_2}}{{p_1}^{p_2}}theta (x)P(x)dx}{{int _{p_1}^{p_2}} _{p_1}^{p_2}theta (x)dx}&{}text {als } p_1<p_2 }<p_2}&p_2}{array}}rechts. }
(E.1)

De uitdrukking voor \(\Lambda _{x_1}) kan worden verkregen door \(\mu _i\) en \(\nu _i\) om te wisselen, \({overline{a}}_i,{overline{c}}_i)\) met ({overline{d}}_i,\overline{b}_i)\), en (p_i\) met (q_i\).

Voor het voorbeeld uit Fig. 3 en 4 hebben we de integraalvergelijking uit (E.1) samen met het numerieke integratiepakket van Mathematica gebruikt om \(\Lambda _{x_1}>0) en \(\Lambda _{x_2}>0) te vinden. Dit impliceert door Stelling 3.1, Benaïm en Lobry (2016) of door Benaim (2018) dat de twee soorten naast elkaar bestaan.

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *