Um die Sauce zuzubereiten, schmelzen Sie in einem großen, schweren Topf bei mittlerer Hitze die Butter mit dem Olivenöl. Die Zwiebel hinzugeben und anbraten, bis sie weich ist, etwa 5 Minuten. Die Tomaten und das Salz hinzufügen. Zum Köcheln bringen und unter gelegentlichem Rühren kochen, bis sie eingedickt sind, etwa 45 Minuten. Basilikum und Pfeffer einrühren. Auf Zimmertemperatur abkühlen lassen. Sie sollten etwa 7 Tassen haben.
Bringen Sie einen großen Topf, der zu drei Vierteln mit Wasser gefüllt ist, bei starker Hitze zum Kochen. Großzügig salzen. Fügen Sie die frischen Nudeln nacheinander hinzu und rühren Sie dabei vorsichtig um, damit sie nicht zusammenkleben. Kochen Sie sie, bis sie fast weich sind, etwa 1 Minute. Gießen Sie etwa zwei Drittel des Wassers ab und lassen Sie die Nudeln im Topf. Füllen Sie den Topf wieder mit kaltem Wasser und stellen Sie ihn beiseite. Für die getrocknete Lasagne die Streifen einzeln hinzufügen, dabei vorsichtig umrühren, damit sie nicht zusammenkleben, und nach Packungsanweisung kochen, bis die Nudeln noch sehr al dente (zart, aber bissfest) sind. Gießen Sie etwa zwei Drittel des Wassers ab und lassen Sie die Nudeln im Topf. Füllen Sie den Topf wieder mit kaltem Wasser und stellen Sie ihn beiseite.
Um die Füllung zuzubereiten, schlagen Sie das Ei in einer Schüssel leicht auf, bis es vermengt ist. Den Ricotta, die Petersilie, Salz und Pfeffer unterrühren.
Einen Ofen auf 375°F vorheizen.
In einer 9 x 12 x 2-Zoll-Auflaufform etwa 1/4 Tasse der Soße auf dem Boden verteilen. Nehmen Sie 2 der Lasagne-Nudeln aus dem Topf, breiten Sie sie auf einem Küchentuch aus und tupfen Sie sie trocken. Legen Sie die Nudeln in einer einzigen Schicht in die Auflaufform. Verteilen Sie gleichmäßig etwa 1 Tasse der Ricotta-Mischung und bestreuen Sie sie mit 1/4 Tasse Parmigiano-Reggiano-Käse. Streuen Sie etwa ein Viertel der Mozzarellascheiben darüber. Bilden Sie eine zweite Schicht mit 2 Nudeln und bestreichen Sie diese mit Sauce. Erneut mit den Käsescheiben schichten. Wiederholen Sie die Schichten. Mit den restlichen Nudeln eine letzte Schicht bilden, mit einer dünnen Schicht Sauce bestreichen und mit dem restlichen Mozzarella und Parmigiano-Reggiano-Käse belegen. (Zu diesem Zeitpunkt kann das Gericht abgedeckt und für mehrere Stunden oder bis zu über Nacht in den Kühlschrank gestellt werden, bevor es gebacken wird.)
Backen, bis die Soße sprudelt, die Oberseite gebräunt und die Mitte durcherhitzt ist, etwa 45 Minuten. (Wenn die Lasagne direkt aus dem Kühlschrank kommt, muss sie etwa 1 1/4 Stunden backen.) Aus dem Ofen nehmen und 10 Minuten stehen lassen. In der Zwischenzeit die restliche Sauce bei schwacher Hitze wieder erhitzen. Schneiden Sie die Lasagne in Quadrate und servieren Sie sie. Die restliche Sauce und den Parmigiano-Reggiano-Käse am Tisch reichen. Für 8 Personen.