Annexe A : Preuve du théorème 4.1
Si le nombre d’espèces est strictement supérieur au nombre de ressources, \(n>m\), le système
admet une solution non triviale \((c_1, \dots , c_n)\).
Théorème A.1
Supposons que \(\lim _{\Vert \mathbf {x}\Vert \rightarrow \infty } R_j(\mathbf {x})=-\infty , j=1,\dots ,m\). Supposons encore que n espèces interagissent selon (4.3), que le nombre d’espèces est supérieur au nombre de ressources \(n>m\) et que les ressources dépendent des densités d’espèces selon (2.2) de sorte qu’elles finissent par s’épuiser. Supposons en outre que \(g_i(\mathbf {x})=1\) et
pour \(j=1,\dots ,m\). Soit \((c_1,\dots ,c_n)\) une solution non triviale de (A.1) et supposons que \(\sum _{i=1}^n c_i\left( \alpha _i+\frac{\sigma _{ii}}{2}\right) \ne 0\). Alors, pour toute densité de départ \(\mathbf {x}(0)\in (0,\infty )^n\) avec une probabilité de 1
Preuve du théorème 4.1
Supposons \(g_i(\mathbf {x})=1\), \(i=1,\dots , n\) et \(\sum _jb_{ij}>b_m>0\) pour tout i et un certain \(b_m>0\). Notez que si \(\sum _j b_{ij}=0\) alors nous pouvons supprimer \(R_j\) de l’équation. Supposons que
Donc, puisque \(\lim _{\Vert \mathbf {x}\Vert \rightarrow \infty } R_j(\mathbf {x})=-\infty \), on a quand \(|\mathbf {x}|\) grand que:
ce qui, avec la linéarité de la partie diffusion, implique que l’hypothèse 1.1 des travaux de HN16 tient avec \(\mathbf {c}=(1,\dots , 1)\). Par conséquent, pour tout point de départ \(\mathbf {x}(0)\in (0,\infty )^n\) l’EDS (4.3) a une solution positive unique et par Hening et Nguyen (2018a) (équation (5.22)) avec la probabilité 1
En remplaçant éventuellement tous les \(c_i\) par \(-c_i\), nous pouvons supposer que \(\sum _{i=1}^n c_i\left( \alpha _i+\frac{\sigma _{ii}}{2}\right) >0\). En utilisant ceci en conjonction avec (4.3), (A.1) et le Lemme d’Itô, nous voyons que
Laissons \(t\rightarrow \infty \) et utilisons que \(\lim _{t\rightarrow \infty }\dfrac{\sum _{i=1}^n c_iE_i(t)}{t}=0\) avec une probabilité de 1, on obtient qu’avec une probabilité de 1
Au vu de (A.2) cela implique qu’avec une probabilité de 1
(\square \)
Appendice B : preuve du théorème 4.2
Supposons que deux espèces interagissent selon
la ressource R dépend linéairement des densités des espèces
et \(b_i{\overline{R}}>\alpha _i, i=1,2\). Alors il existe \(\beta _1, \beta _2>0\) tels que les deux espèces coexistent.
Preuve
Considérons
Si l’espèce \(x_2\) est absente l’espèce \(x_1\) a la dynamique uni-dimensionnelle
Puisque \(b_1{\overline{R}}>\alpha _1\), nous pouvons utiliser Hening et Nguyen (2018a) pour montrer que le processus x(t) a une mesure invariante unique sur \((0,\infty )\), disons \(\mu _1\). De plus, (Hening et Nguyen 2018a, Lemma 2.1 ) montre que
ou
Le taux d’invasion de \(x_2\) par rapport à \(x_1\) peut être calculé par (4.2) comme
De même, on peut calculer le taux d’invasion de \(x_1\) par rapport à \(x_2\) comme
Puisque \(b_i{\overline{R}}-\alpha _i>0\), on peut facilement voir que \( \Lambda _{x_2}>0\), et \(\Lambda _{x_1}>0\) si \( \beta _1>\dfrac{b_2a_1(b_1{\overline{R}}-\alpha _1)}{b_2\overline{R}-\alpha _2}-b_1a_1. \) et \( \beta _2>\dfrac{b_1a_2(b_2\overline{R}-\alpha _2)}{b_1{\overline{R}-\alpha _1}-b_2a_2. \) Si les deux taux d’invasion sont positifs, nous obtenons par Hening et Nguyen (2018a) que les espèces coexistent. \(\square \)
Annexe C : Preuve du théorème 4.3
Nous construisons un exemple d’EDD où deux espèces sont en compétition pour une ressource abiotique et coexistent. Nous remarquons que cela se produit uniquement à cause du terme de variation temporelle aléatoire de l’environnement.
Théorème C.1
Supposons que la dynamique des deux espèces est donnée par
où f est une fonction de Lipschitz continuellement différentiable satisfaisant \(\lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)=-\infty \), \(\dfrac{df(x)}{dx}>0, \dfrac{d^2f(x)}{dx^2}\le 0\) pour tout \(x\in \mathbb {R}\) et \(\dfrac{d^2f(x)}{dx^2}<0\) pour x dans un sous-intervalle de \(\left( -\infty ,\frac{{\overline{R}}}{a_1}\right) \). Soit \(a_1, a_2, \sigma _1, \alpha _1, \sigma _1, {\overline{R}}\) toutes constantes positives fixes satisfaisant \(f({\overline{R}})>\alpha _1+\dfrac{\sigma _1^2}{2}\). Alors il existe un intervalle \((c_0,c_1)\sous-ensemble (0,\infty )\) tel que les deux espèces coexistent pour tout \(\alpha _2\in (c_0,c_1)\).
Preuve
La dynamique des espèces \(x_1\) en l’absence des espèces \(x_2\) est donnée par la SDE unidimensionnelle
Puisque \(\lim _{xrightarrow \infty }f({\overline{R}}-a_1x)=-\infty \), et \(f(\overline{R})>\alpha _1+\dfrac{\sigma _1^2}{2}\), cette diffusion possède une unique mesure de probabilité invariante \(\mu \) sur \((0,\infty )\) dont la densité est strictement positive sur \((0,\infty )\) (voir Borodin et Salminen (2016) ou Mao (1997)). De plus, en notant que \(\lim _{t\rightarrow \infty }\frac{\ln x(t)}{t}=0\) avec une probabilité de 1 (en utilisant le Lemme 5.1 de Hening et Nguyen (2018a)) et en utilisant la formule d’Itô, on voit que
Puisque f est une fonction concave et \(\dfrac{d^2f(x)}{dx^2}>0\) pour tout x dans un certain sous-intervalle de \(\left( -\infty ,\frac{\overline{R}{a_1}\right) \) nous devons avoir par l’inégalité de Jensen que
Le fait que la fonction f soit strictement croissante conjointement avec (C.2) et (C.3) force
où \(f^{-1}\) est l’inverse de f- il existe parce que f est strictement croissante. En conséquence, le taux d’invasion des espèces \(x_2\) par rapport à \(x_1\), de la mesure de probabilité invariante \(\mu \), peut être calculé en utilisant (4.2) comme
Cela implique que \(\Lambda _{x_2}>0\) si et seulement si
La dynamique des espèces \(x_2\) en l’absence des espèces \(x_1\) est
Les solutions positives de cette équation convergent vers le point \(y^*=\dfrac{\overline{R}}-\alpha _2}{a_2}\) si et seulement si
Le taux d’invasion de \(x_1\) par rapport à \(x_2\) sera
Notez que puisque la fonction f est croissante on obtient \(\Lambda _{x_1}>0\) si et seulement si
Notez que \(f^{-1}\left( \alpha _1+\dfrac{\sigma _1^2}{2}\right) <{overline{R}}\) puisque par hypothèse \(f({\overline{R}})>\alpha _1+\dfrac{\sigma _1^2}{2}\). Par conséquent, en utilisant les inégalités (C.5), (C.6) et (C.7), on obtient que \(\Lambda _{x_2}>0, \Lambda _{x_1}>0\) si et seulement si
Cela implique par le théorème 3.1 ou par Benaim (2018) que les deux espèces coexistent. \(\N- Carré \N-)
Appendice D : Preuve du théorème 5.1
Supposons que
Supposons en outre qu’il existe un vecteur \((c_1,\dots ,c_n)\) qui est simultanément une solution aux systèmes (5.5) pour tout \(u\in \{1,\dots ,N}\). Alors, avec une probabilité de 1,
sauf éventuellement pour le cas critique où
où \((\nu _k)_{k\dans \mathcal {N}}\) est la mesure de probabilité invariante de la chaîne de Markov (r(t)).
Preuve
Sous la condition (D.1), il existe un \(M>0\) tel que l’ensemble \(K_M:=\{\mathbf {x}\in \mathbb {R}^n : \Vert \mathbf {x}\Vert \le M\}\) est un attracteur global de (5.4). Par conséquent, la solution de (5.4) entre éventuellement dans l’ensemble compact \(K_M\) et ne le quitte jamais. En particulier, cela montre que le processus \(\mathbf {x}(t)\) est borné. Ensuite, notons que nous pouvons supposer que
Au contraire, si \(\sum _{i=1}^n c_i\sum _{k=1}^N\alpha _i(k)\pi _k<0\), on peut remplacer \(c_i\) par \(-c_i\), \(i=1,\dots , n\) et obtenir alors (D.3). En utilisant (5.1) et le fait que les \(c_i\) résolvent (5.5) simultanément, nous obtenons
Laissant \(t\rightarrow \infty \) et utilisant l’ergodicité de la chaîne de Markov (r(t)) on obtient qu’avec la probabilité 1
Puisque \(\mathbf {x}(t)\) est borné, cela implique qu’avec une probabilité de 1
\(\square \)
Annexe E : preuve du théorème 5.2
Selon Benaïm et Lobry (2016), Malrieu et Zitt (2017), et Malrieu et Phu (2016), il suffit de trouver un exemple pour lequel les taux d’invasion \(\Lambda _{x_1}, \Lambda _{x_2}\) sont positifs. Nous allons suivre Benaïm et Lobry (2016) afin de calculer les taux d’invasion des deux espèces. On définit pour \(u=1,2\)\(\mu _u=-\alpha _1(u)+b_1(u){\overline{R}}, \nu _u=-\alpha _2(u)+b_2(u){\overline{R}}\)\({\overline{a}}_u=\dfrac{b_1(u)a_1(u)}{\mu _u}, \overline{b}_u=\dfrac{b_1(u)a_2(u)}{\mu _u}, \overline{c}_u=\dfrac{b_2(u)a_1(u)}{\nu _u}, \overline{d}(u)=\dfrac{b_2(u)a_2(u)}{\nu _u}\), \(p_u=\dfrac{1}{{\overline{a}}_u}, q_u=\dfrac{1}{{{overline{d}}_u}, \gamma _1=\dfrac{q_{12}}{\mu _u}, \gamma _2=\dfrac{q_{21}}{\nu _u}\). Si \(p_1\ne p_2\), supposons sans perte de généralité que \(p_1<p_2\). Définissez les fonctions
et
Par Benaïm et Lobry (2016), on a
L’expression de \(\Lambda _{x_1}\) peut être obtenue en échangeant \(\mu _i\) et \(\nu _i\), \(({\overline{a}}_i,{\overline{c}}_i)\) avec \(({\overline{d}}_i,\overline{b}_i)\), et \(p_i\) avec \(q_i\).
Pour l’exemple des figures 3 et 4, nous avons utilisé l’équation intégrale de (E.1.) ainsi que le package d’intégration numérique de Mathematica afin de trouver \(\Lambda _{x_1}>0\) et \(\Lambda _{x_2}>0\). Cela implique par le théorème 3.1, Benaïm et Lobry (2016) ou par Benaim (2018) que les deux espèces coexistent.
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