Para hacer la salsa, en una cacerola grande y pesada a fuego medio, derrita la mantequilla con el aceite de oliva. Añadir la cebolla y rehogar hasta que esté tierna, unos 5 minutos. Añadir los tomates y la sal. Llevar a fuego lento y cocinar, removiendo de vez en cuando, hasta que espese, unos 45 minutos. Incorporar la albahaca y la pimienta. Deje que se enfríe a temperatura ambiente. Debería tener unas 7 tazas.
Ponga una olla grande con tres cuartos de agua a hervir a fuego alto. Salar generosamente. Para la pasta fresca, añadir las tiras de una en una, removiendo suavemente para que no se peguen. Hervir hasta que estén casi tiernas, aproximadamente 1 minuto. Escurrir unos dos tercios del agua, dejando la pasta en la olla. Volver a llenar la olla con agua fría y reservar. Para la lasaña seca, añada las tiras de una en una, removiendo suavemente para que no se peguen, y cocine según las instrucciones del paquete hasta que la pasta esté muy al dente (tierna pero firme al morder). Escurrir unos dos tercios del agua, dejando la pasta en la olla. Volver a llenar la olla con agua fría y reservar.
Para hacer el relleno, en un bol, batir ligeramente el huevo hasta que esté mezclado. Incorporar la ricotta, el perejil, la sal y la pimienta.
Precalentar el horno a 375°F.
En una bandeja para hornear de 9 por 12 por 2 pulgadas, extender aproximadamente 1/4 de taza de la salsa sobre el fondo. Saque 2 de los fideos de lasaña de la olla, extiéndalos sobre una toalla de cocina y séquelos. Coloque la pasta en la fuente en una sola capa. Unte uniformemente con aproximadamente 1 taza de la mezcla de ricotta y espolvoree con 1/4 de taza del queso Parmigiano-Reggiano. Esparza una cuarta parte de las rodajas de mozzarella por encima. Haga una segunda capa con 2 fideos y úntela con salsa. Vuelva a hacer una capa con los quesos. Repita las capas. Hacer una última capa con los fideos restantes, untarla con una fina capa de salsa y cubrirla con los quesos mozzarella y parmigiano reggiano restantes. (En este punto, el plato puede cubrirse y refrigerarse durante varias horas o hasta toda la noche antes de hornearse.)
Hornee hasta que la salsa esté burbujeante, la parte superior esté dorada y el centro esté bien caliente, unos 45 minutos. (Si la lasaña ha salido directamente del frigorífico, tendrá que hornearse durante 1 1/4 horas). Retirar del horno y dejar reposar durante 10 minutos. Mientras tanto, vuelva a calentar el resto de la salsa a fuego lento. Cortar la lasaña en cuadrados y servir. Pase la salsa restante y el queso Parmigiano-Reggiano en la mesa. Sirve a 8 personas.